第95回箱根駅伝の往路レースの優勝は東洋大学でした。三区では青山学院大学の森田歩希選手が8位から追い上げ、トップに躍り出ました。東洋大は8秒差で2位につけました。

森田選手は１時間１分26秒の区間新記録の快走でした。三区は21.4kmですから、森田選手は平均速度5.8m/sで走破したことになります。もし5.8m/sの速度でマラソンを完走できれば、2時間1分15秒（＝42.195ｋｍ/5.8m/s）の記録がでます。森田選手がいかに俊足かがわかります。

最近ランニングウオッチと連携したセンサを腰につけて、手軽にランニング時の上下動を計れるようになりました。データを見ると、マラソン選手の上下動は10cm程度です。重心は放物運動をしているので、上下動Δyが分かれば滞空時間toも決まります。重力加速度をg、上方向の初速度をvoとすると、ｔ秒後の重心位置ｙは

• ｙ＝－1/2・gｔ^2＋voｔ＝－g/2・（t－vo/g）^2＋1/2g・vo^2

でした。上下動Δyと滞空時間toは

• ｔo＝2vo/g　→　vo＝gｔo/2
• Δy＝1/2g・vo^2＝1/8・ｇto^2　→　vo＝root(2gΔy)

を満たします。Δy＝10cmが分かっているので、初期速度voと滞在時間ｔo

・　vo＝root(2×9.8m/ss×0.10m)＝1.40m/s

• ｔo＝2×1.40m/s /9.8m/ss=0.28sec

が分かります。森田選手の1ピッチΔｘは

• Δｘ＝5.8m/s×0.28sec＝1.62ｍ

くらいです。

無風状態でも5.8m/sで走れば、ランナ－は5.8m/sの風を感じます。ランナ－の受ける風の影響はどれくらいでしょうか？　ランナ－は直径22cm、長さ1.7ｍの円柱に例えて考えられます。流れに垂直に置かれた円柱の空気抵抗を求めます。

空気の動粘性係数ｋ＝1.5×10＾-5 m^2/sですから、レイノルズ数は

・Re＝Lu/ｋ＝0.22×5.8m/s/1.5×10＾-5 m^2/s＝8.5×10^4　

となります。Re＝8.5×10^4は、臨界レイノルズ数Re＝2×10^5よりやや小さいです。レイノルズ数が臨界Reより大きくなると、抗力係数Cは急に1より小さくなります。ちなみにバレ－ボ－ルやサッカ－ではボ－ル(直径20cm)の速度が30m/sを超えるので、臨界Reを超えて、無回転ボ－ルが予測不能の動きをすることが知られています。レイノルズ数が10^3より小さくなると、抗力係数Cは1より大きくなります。

• L/d＝1.7m/0.22m＝7.7

なので、C≒1.1（＝0.9～1.2）としていいでしょう。空気の密度を＝1.2kg/m^3、円柱の投影面積をA＝1.2m^2とすると、抗力Fは、速度の2乗に比例し、

• F＝C/2・A・uo^2＝1.1/2・1.2kg/m^3×1.2m^2×5.8m/s＾2≒26N

で与えられます。森田選手の体重を65kgとすると、加速度は

• a＝F/m＝26N/65kg＝0.4m/ss

となります。水平方向の速さは0.1m/s（＝0.4m/ss×0.28ｓ）だけ遅くなります。つまり大まかにいって、地面を蹴った瞬間の水平速度は5.9m/sでしたが、着地するときの速度は、空気抵抗により5.8m/sになったと考えられます。

では向い風5m/sの場合はどうなるでしょうか？　ランナ－の感じる風速は10.8m/s（＝5.8m/s＋5.0m/s）となります。

• F＝1.1/2・1.2kg/m^3×1.2m^2×（10.8m/s）＾2 ≒ 92N

これは26Nの3.5倍です。加速度は1.4m/ss（＝0.4m/ss×3.5）となるので、水平方向の速さは0.4m/s（≒1.4m/ss×0.28ｓ）だけ遅くなります。

• 5.9m/s－0.4m/s＝5.5m/s

向い風5m/sの場合、5.8m/sから5.5m/sに減速すると考えられます。三区21.4kmは

• 21.4×1000ｍ/5.5m/s＝3890秒

経過します。

結局、向い風5m/sの場合、森田選手は無風状態の時より、

• 3890秒－3686秒＝204秒＝3分24秒

だけ到着が遅れることになります。

ちなみにこの速度でマラソンを完走できれば、

42.195ｋｍ/5.5m/s＝2時間7分52秒

となります。もし追い風5.8ｍ/sが吹き続ければ、

• 42.195ｋｍ/5.9m/s＝1時間59分12秒

で2時間を切ることができます。但し風の影響を相殺するために、通常マラソンのコ－スは折り返しコースになっています。駅伝選手が臨界レイノルズ数に近いところで走っているのは面白いと思いました。

フィギュアスケ－トの4回転ジャンプは、比較的着氷しやすいト－ル－プジャンプとサルコウジャンプが用いられています。ト－ル－プは、右足で体を浮かせ、左足のつま先で踏み切るので、高く飛びやすいジャンプです。サルコウは左足内側のエッジで踏み切るので、高く飛びにくいですが、回転をつけやすいジャンプです。2018年2月の平昌オリンピックで羽生選手は4回転サルコウジャンプを鮮やかに決めました。

　スケ－ト靴を履いているので、足首は固定されています。スケ－タは膝と股関節だけを使ってジャンプしています。その場で片足で跳べる高さはせいぜい30cm程度でしょう。しかし羽生選手は86ｃｍも飛び上がっているそうです。なぜこんなに高く飛び上がることができるのでしょうか。

重力加速度をg、スケ－タの加速度をaとすると、垂直方向の運動方程式は、

• ma＝－mg

です。垂直方向の初速度をvoとすると、ｔ秒後の速度ｖと位置ｙは

• v＝－gt＋vo
• y＝－ｇ/2・ｔ^2＋voｔ＝－ｇ/2・(t－vo/g)^2＋vo^2／2g

となります。水平方向の初速度をuoとすると、ｔ秒後の位置ｘは

• x＝uoｔ

となります。vo/gで最高点に到達するので、滞空時間toは

• to＝2vo/ｇ　（vo＝gto/2）

となります。跳躍高さhは

• h＝vo^2／2g＝(gto/2)^2／2g＝g/8・to^2

となります。初期速度あるいは滞空時間によって跳躍高さが決まります。

羽生選手の滞空時間は0.84秒だそうです。そうすると初期速度と跳躍高さは

• vo＝0.5・9.8m/s^2・0.84s＝4.1m/s
• h＝0.125・9.8m/s^2・0.84・0.84＝0.864m＝86.4cm

となります。回転速度は

• 4回転/0.84ｓ＝4.8回転/秒

です。跳躍時間が長いので、回転速度が5回転/秒以下でも4回転しています。

羽生選手は、跳躍前の深いスリ－タ－ンで速度を落とさずに向きを変えるので、水平方向の速度はu=6m/sと大きいです。サルコウでは左脚のエッジを氷面に食い込ませて、瞬間的にエッジを中心に回転させます。典型的な左脚の傾きはφ＝17度（氷面と脚のなす角度は73度）です。着地で転倒しないように、体軸を進行方向に対して後ろ向きに鉛直から17度傾けています。踏切時には重心に

• Δuo＝ucosφcosφ＝6.0・0.9145＝5.5m/s（水平方向）
• Δvo＝ucosφsinφ＝u/2・sin2φ＝6.0/2・sin34＝3・0.56＝1.7m/s（垂直方向）

の速度が生じます。助走速度を利用して、上昇速度Δvo＝1.7m/sを得ることができました。全体の跳躍速度は

• Vo＝Δv1＋Δvo＝2.4m/s＋1.7m/s＝4.1m/s

ですから、自力の跳躍速度はΔv1＝2.4m/sとなります。自力での滞空時間と高さは

• Δt1＝2Δv1/g＝2・2.4m/s／9.8ｍ/ss＝0.49秒
• Δh1＝Δv1^2／2g＝2.4m/s＾2／2／9.8m/ss＝0.294m＝29.4cm

です。高さは速度の2乗に比例するので、自力の跳躍速度Δv1＝2.4m/sに助走を利用した上昇速度Δvo＝1.7m/sを少し加えるだけで、跳躍高さが29cmから86cmに増大しました。

羽生選手の体重は53kgでスケ－ト靴の重さは1kg（両足）で、全体で54kgです。ジャンプによる位置エネルギの上昇Eoは

• Eo=ｍgh＝54kg・9.8m/ss・0.864m＝457.2J

です。回転速度は

• ω＝4×2πrad/0.84sec＝30rad/s

です。羽生選手の慣性モ－メントIは、頭、首、胴（腕込み）、腰、腿、下肢、足首、靴の各部分（い＝1~8）が円筒であると近似して足し合わせた結果小さめに見積もっておおよそ

• I＝1/2・∑（ｍi・ｒi^2）＝0.32　kgｍ^2

であると推定しました。これは半径10.8cmで長さ175cm（＝身長171cm＋靴4cm）の円筒（比重1）の慣性モ－メントに相当します。回転運動のエネルギE1は

• E1＝1/2・Iω^2＝0.5・0.32 kgｍ^2・30rad/s＾2＝144.0 J

よって、ジャンプするエネルギの方が回転エネルギより3.2倍も大きい

• Eo/E1=457.2J/144.0 J＝3.2倍

ことが分かります。慣性モ－メントが30％大きければ、2.5倍程度になります。

　氷面を0.1秒間蹴り続けたとすると、ジャンプ力Foは

• Fo＝54kg・4.1m/s／0.1sec＝2214N

回転トルクT＝F1×rは

• T＝I・dω/dt＝0.32kgm^2・30rad/s／0.1s＝96.0Nm

回転力F1は、r=0.108mとして

• F1＝96.0/0.108＝888.9N

全力Fは

• F＝root（Fo^2＋F1^2）＝root(2214＾2＋889＾2)＝2386N＝243kgf

となり、体重54kgfの4.5倍の力でジャンプしたことになります。4回転ジャンプは体重の4倍以上の力がかかると言われているので、0.1秒の蹴り時間は良い値だと思われます。

踏切角度αは、ジャンプ力Foと回転力F1の比に対して

• tanα＝Fo/F1＝2214N/889N＝2.490

を満たします。跳躍は氷面からα＝68度の方向（傾き22度）でした。跳躍時に腕や脚の広がりがあると慣性モ－メントは増加します。慣性モ－メントが30％大きければ、

• tanα＝2214N/889N/1.3＝2.490/1.3＝1.915

となります。これを解くと、跳躍方向は氷面からα＝62度の方向（傾き28度）になります。踏切角度は60度程度と言われているので、実際の慣性モ－メントは30％増しの値なのかもしれません。跳躍方向と体軸の傾きは必ずしも一致しません。

羽生選手は助走速度6m/sが大きく、それを上手に上昇速度1.7m/sに変換し、自力のジャンプ速度2.4m/sに付け加えることにより4.1m/sの速いジャンプ速度を得ていました。それにより長い滞空時間0.84秒を実現し、その間に4.8回転/秒で高速回転することにより、4回転（＝1.8回転/秒×0.84秒）ジャンプを成功させたことになります。

スケ－トでは、回転をつけるために、跳躍する前に手足を伸ばして慣性モ－メントを大きくして、体を先行してひねっていきます。強く氷面を蹴って跳躍すると同時に素早く手足を縮め、体軸をまっすぐにして、進行方向に対して後ろ側に傾けます。着氷時には安定に着地するために、手やフリ－脚を大きく伸ばして、角運動量を手脚に持たせて、体の回転を止めます。回転に余裕がない場合は、高く飛ぶことが、安定な演技につながります。回転に余裕がある場合は、演技を大きくみせるために、遠くに跳躍するようです。これからは靴が軽くなるので、難度の高いルッツやアクセルでも4回転ジャンプを成功させる選手がでてくるでしょう。

ジャマイカのウサイン・ボルト選手は2009年のベルリンの世界陸上で、9秒58の世界新記録を樹立しました。その時のボルト選手のスピ－ド曲線を解析してみました。

ボルト選手のトップスピ－ドv1は12.3m/sでした。加速度は時間の1次関数である

• a＝a1（1－t/t0）

と仮定して、フィッティングしました。図に最適なフィッティング時の加速度の時間依存性を示します。直線近似なので多少ずれがありますが、初期加速度a1＝5.65m/s^2、t0＝4.35秒（36ｍ地点）後

• ｔ0＝2ｖ1/a1＝2×12.3m/s/5.65m/s^2＝4.35秒

に加速度がゼロになり、トップスピ－ドに達することが分かりました。

質量ｍの走者は進行方向と逆向きに見かけの力maを受けます。走者は加速時に前傾姿勢を取ります。地面からの傾斜角度をα、重力加速度をg（＝9.8m/s^2）とすると、傾斜する体軸に垂直方向の成分のつり合いから

• mgcosα＝masinα

が成り立ちます。

つまり傾斜角度αは加速度aに対して

• tanα＝g/a

なる関係を満たします。これは姿勢が前傾するほど、加速度aが大きくなることを示しています。ボルト選手の場合、傾斜角度はスタ－ト直後に60度（体軸と地面のなす角）ですが、徐々に増加し36m地点で90度（直立）になります。傾斜角度を小さくするほど、短時間でトップスピ－ドになります。

走行時に足にかかる力は

• sqrt（a^2＋g^2）/ｇ～11.3/9.8＝1.15

倍に大きくなります。a=5.65m/s^2の時、体重の15％だけ体が重く感じられます。ボルト選手は93kgだから、加速し始めたときに14kgも重くなります。

トップスピ－ドを高めるためには、ストライド（1ステップの幅）とピッチ（1秒間のステップ数）を大きくします。ボルト選手のストライドは2.75ｍ（身長は1.96ｍ）ピッチは4.48回です。ちなみにカ－ルルイス選手のストライドは2.75ｍ（身長は1.88ｍ）ピッチは4.36回です。ボルト選手は長身ですが、ピッチが大きい特徴があります。またボルト選手はゴ－ル直前まで減速なく走り切りますが、日本の選手は減速が大きいです。

　100ｍの限界タイムは9.27秒と言われています。これはトップスピ－ド12.9m/sに相当し、ゴール前でボルト選手を4ｍ引き離す速さです。 

正しいジョギングは「歩く速さで走ること」です。これがスロ－ジョギングです。初心者は、「歩く速さより速く走らなければならない」という先入観が強いので、長時間走れないし、ジョギング習慣が長続きしません。速く走ると辛くなります。それはエネルギ消費が上がるにつれて乳酸の分解が追い付かずに、乳酸が筋肉に蓄積するからだと言われています。しかし歩く速さで走れば、乳酸が筋肉に蓄積しないので、楽に走れるのです。

ダイエットをしたい人は、1日に30分は走った方がいいでしょう。8km/hでは1分間しか走れない人でも、4km/hなら30分間、楽に走れます。疲れが残らないので、ジョギング習慣が長続きします。もちろん少しずつ速度を上げていけば、楽に速く走れるようにもなります。

重要なのは、遅く歩けばダイエット効果は小さいですが、遅く走ってもダイエット効果は変わらないことです。物理法則を思い出してください。歩行時の消費エネルギは速度に依存しますが、ジョギング走行時の消費エネルギは速度に依存しないからです。速くジョギングすると運動した気になりますが、それは乳酸がより多く蓄積するだけの違いでしかないのです。

歩く速さでジョギングすると、自然と足の指の付け根で着地します。いわゆるフォアフット走法になります。踵から着地すると、ウォ－キングになり、走りにくくなるからです。フォアフット走法の方が足にくる衝撃が小さく、ケガをしにくいと言われています。またふくらはぎの筋肉が鍛えられます。慣れないうちは軽いフォアフットにするといいでしょう。たまには学級の一番足の遅い子どもを一番先頭に走らせて、みんなはその後をゆっくり走るのはどうでしょうか？その方が楽しく走れるし、運動効果はそれで十分あるのです。

物理法則を知っているだけでは、役に立ちません。いろんな出来事に応用できないか考えてみることで、日常生活にとても役に立つことが分かりますね。

ジョギングというのは10km/h以下の速さで走ることです。最近スロ－ジョギングがいいね、なんて言われますが、どうしてでしょうか？ウォーキングの場合は速く歩いた方が、消費効率がよかったのに。それにしても一体どれくらいの速さで走ればいいのでしょうか？それはどうしてでしょうか？走るのは歩くのとどう違うのでしょうか？通常はそういうことは何も知らずに闇雲に走っているのですが、少し冷静になって簡単な物理で推測してみましょう。

一秒間の消費エネルギP[W＝J/s]は、
P[W]＝W[J/歩]×N[歩/s]
で与えられました。

まず1歩あたりの仕事W[J/歩]を考えてみましょう。踵を地面につけたまま、膝を曲げると、どれだけ重心が下がるでしょうか？私の場合は10cmでした。たぶん皆さんも同じくらいでしょう。走る場合は、膝を曲げた状態から蹴って足を入れ替えます。飛び上がったとき、重心の地面からの高さは10cmくらいです。これは基本的に筋肉もバネと同じだからです。つまり膝を曲げた分だけ上に飛び上がれるのです。だから走行時の重心は20cm上下します。歩行時の重心は10cm上下するので、1歩あたりの走行時の仕事は歩行時の2倍になります。随分簡単ですね。

1秒当たりの歩数N[歩/s]はどうでしょうか？ウォ－キングとジョギングで違いはあるでしょうか？ウォ－キングの場合は、早く歩くと1秒間の歩数は増加します。しかしジョギングでは、速さを変えても、8km/h以下の速さならば一定のリズムで走るので、1秒間の歩数は殆ど変わらないのです。ウォ－キングの場合は、早く歩いても歩幅は増加しませんが、ジョギングでは徐々に速く走ると歩幅が増加します。これは、跳躍中は慣性の法則が働き、速度が低下することなく移動するので、速く走ると歩幅が増加するのです。

歩行時の1歩あたりの仕事をWoとすると、走行時の消費エネルギは
Pr[W]＝2×Wo[J/歩]×No[歩/s]
となり、速度に依存しません。一方、歩行時の消費エネルギは
Pw[W]＝mgV×tan(φ/2)
であり、速度に依存します。私の場合歩行速度Vo＝6km/hを超えると、歩くより走った方が楽になります。歩行速度が6km/hを超えると、歩行時の消費エネルギは、摩擦により徐々にVの2乗に比例するようになり、歩くのがつらくなる影響もあります。結局、速度Vo＝6km/hで、Pr[W]＝Pw[W]つまり
2WoNo＝mgVo・tan(φ/2)
が成り立っているのです。8km/hを超えると徐々に走るピッチNoが増加します。跳躍の高さも少しあがります。