2社独占体制の場合を考えます。企業1が先に生産量を決定するときの利得を計算します。

企業1は「企業2が企業1の生産量ｑ1に対して最適生産ｑ2*を取らざるを得ない」と予測できます。企業1は企業2の生産量ｑ2*に対して最適な生産ｑ1*を決定します。

企業2の収益は

• u₂＝{a－c－k・(q₁＋q₂)}・q₂
• 　＝－k{ q₂－1/2k・(a－c－k・q₁)}²＋1/4k・(a－c－k・q₁) ²

となるので、企業1の生産量ｑ1に対する企業2の最適生産量は

• q₂*＝1/2k・(a－c－k・q₁)
• u₂*＝1/4k・(a－c－k・q₁) ²

となります。この時の企業1の利益は

• u₁＝{a－c－k・(q₁＋q₂*)}・q₁
• 　＝{a－c－k・q₁－1/2・(a－c－k・q₁)}・q₁

　　　＝1/2・{－k・q₁²＋(a－c)・q₁}

　　　＝1/2・{－k・(q₁－1/2k・(a－c))²＋1/4k・(a－c)²}

となるので、企業1の最適生産量と利益は

• q₁*＝1/2k・(a－c)
• u₁*＝1/8k・(a－c)²

となります。このときの企業2の最適生産量は

• q₂*＝1/2k・(a－c－k・q₁*)
• 　＝1/2k・(a－c)－1/2・1/2k・(a－c)
• 　＝1/4k・(a－c)

となり、企業1の生産量の半分になってしまいます。

全体の生産量は

• q= q₁*＋q₂*＝1/2k・(a－c)＋1/4k・(a－c)＝3/4k・(a－c)

企業2の利益は

• u₂*＝1/4k・(a－c－k・1/2k・(a－c)) ²＝1/16k・(a－c) ²

となり、企業1の利益u₁*の半分にしかなりません。先んずれば人を制すということです。ワクチン開発が加熱する理由は、相手が自分の生産量の情報を知って最適生産を行う場合、理論的に先行生産する企業は2倍の利益を上げられるからです。

ワクチンという商品を例にとって、参入企業数が増えると商品の価格がどのように減少するかを調べました。需要曲線は価格と需要量の関係を示す曲線です。簡単のため線形近似を採用します。需要量が増大すると価格が下がります。これは価格が低下すれば、購買意欲が高まり買う人が増えるという事を意味しています。1個の商品の価格Ｐは

• 価格P＝最大価格a－傾きk・需要量d、　　k[円/個]＞0

と書けます。需要と供給は速やかに一致すると仮定すると、

• 需要量ｄ＝生産量ｑ

ですから、価格と生産量の関係

• Ｐ＝a－k・q

が得られます。生産コストをｃ（円）とします。グラフはｋ＝1の場合で、ワクチン1箱100本入りで最大価格aは100万円、原価cは10万円として、表示しました。

1）1社独占の場合

会社1の生産量がq₁のとき利益u₁は

• u₁＝（P－c）・q₁

よって、

• u₁＝（a－c－k・q₁）・q₁

と表せます。これはq₁の2次方程式

・　u₁＝－kq₁²＋（a－c）・q₁

なので、平方完成すると

u₁＝－k・{q₁－(a－c)／2k}²＋(a－c)²／4k

よって、1社独占のとき、均衡生産量と均衡価格は

• q_1*＝(a－c)／2k
• u_1*＝(a－c)²／4k

となります。

2）ｎ社が参入した場合

企業1の収益u₁は

• u₁＝（a－c－k・q₁－k・q₂ －・・・－k・q_ｎ）・q₁

・　u₁＝－kq₁²＋{（a－c）－k・q₂ －・・・－k・q_ｎ}・q₁

となります。同様に他の企業の収益に関して、収益を最大化する生産量を求めて、連立方程式を解いて、最適生産量を計算できますが、対称性から、全ての企業の生産量は同一の均衡生産量q_1*になる

• q_2*＝q_3*＝・・＝q_n*＝q_1*

ことを用いれば、企業1の収益は

・　u₁＝－kq₁²＋{(a－c)－k(n－1)・q_1*}・q₁

と表せます。ｎ社が参入するとき、企業1の均衡生産量は

• q_1*＝{ a－c－ｋ(n－1) q_1*}／2k

となります。これを解くと

• q_1*＝1/k・1/ (n＋1)・(a－c)

を得ます。全生産量qは、ｎ倍になるので

• q＝1/k・n/ (n＋1)・(a－c)

と表現できます。参入企業数ｎが増大すると、全生産ｑは増大し

• q → 1/k・(a－c)

に近づきます。収益の方は

• b＝(a－c)－k(n－1)・q_1*

　　＝(a－c)－k(n－1)・1/k・1/ (n＋1)・ (a－c)

　　＝2/(n+1)・(a－c)

より、会社1の均衡利益は

• u_1*＝b²／4k

なので、ｂを代入すると

• u_1*＝1/k・1/(n+1)²・(a－c) ²

を得ます。全体の収益uは、ｎ倍になるので

• u＝1/k・n/(n+1)²・(a－c) ²

と表現できます。参入企業数ｎが増大すると、収益は減少します。

ワクチン1箱の価格Ｐは、需要曲線より

• Ｐ＝a－k・q＝a－k・1/k・n/ (n＋1)・(a－c)＝a－n/ (n＋1)・(a－c)

            ＝1/ (n＋1)・a＋n/ (n＋1)・c　→　c　as　ｎ→∞

となります。参入企業数が増えるとワクチンの価格は原価ｃに近づきます。結局ワクチン1箱の利益は

• Ｐ－c＝1/ (n＋1)・(a－c)　→　0　as　ｎ→∞

となります。参入企業数が増えると、利益はなくなります。

原価1000円のワクチン価格は、独占状態での価格は5500円、現行の2000円になるときの参入企業数は8社、1社当たりの収益は100億円でした。

～本モデルの解析結果～

ワクチンの参入企業数：8社、ワクチンの総数量：8000万本、8社の総収益：800億円

ワクチンの価格：2000円/本、ワクチンの利益；1000円/本

【まとめ】

需要曲線の傾きｋ[円/個]、最大価格a、生産コストcのとき、

ワクチン市場にｎ社が参入すると、均衡生産量と均衡価格は以下の通りになります。

• 1社の生産量：q_1*＝1/k・1/ (n＋1)・((a－c)　→　0　（as　ｎ→∞）
• 全体の生産量：q＝1/k・n/ (n＋1)・(a－c)　→　1/k・(a－c) （as　ｎ→∞）
• 1社の収益：u_1*＝1/k・1/(n+1)²・(a－c) ²→　0　
• 全体の収益：u＝1/k・n/(n+1)²・(a－c) ²→　0　
• ワクチン1箱の価格：P＝1/ (n＋1)・a＋n/ (n＋1)・c　 →　c
• ワクチン1箱の利益：P－c＝1/ (n＋1)・(a－c)　 →　0　

となります。参入企業数ｎが増えると以下のことが分かります。

・1社の生産量は減少するが、全体の生産量は増加し、飽和する。

・1社の収益は急激に減少し、全体の収益も減少して、ゼロになる。

・ワクチン1箱の価格は減少して、原価ｃになり、利益はなくなる。