2社独占体制の場合を考えます。企業1が先に生産量を決定するときの利得を計算します。
企業1は「企業2が企業1の生産量ｑ1に対して最適生産ｑ2*を取らざるを得ない」と予測できます。企業1は企業2の生産量ｑ2*に対して最適な生産ｑ1*を決定します。
企業2の収益は
- u2＝{a－c－k・(q1＋q2)}・q2
- ＝－k{ q2－1/2k・(a－c－k・q1)}2＋1/4k・(a－c－k・q1) 2
となるので、企業1の生産量ｑ1に対する企業2の最適生産量は
- q2*＝1/2k・(a－c－k・q1)
- u2*＝1/4k・(a－c－k・q1) 2
となります。この時の企業1の利益は
- u1＝{a－c－k・(q1＋q2*)}・q1
- ＝{a－c－k・q1－1/2・(a－c－k・q1)}・q1
＝1/2・{－k・q12＋(a－c)・q1}
＝1/2・{－k・(q1－1/2k・(a－c))2＋1/4k・(a－c)2}
となるので、企業1の最適生産量と利益は
- q1*＝1/2k・(a－c)
- u1*＝1/8k・(a－c)2
となります。このときの企業2の最適生産量は
- q2*＝1/2k・(a－c－k・q1*)
- ＝1/2k・(a－c)－1/2・1/2k・(a－c)
- ＝1/4k・(a－c)
となり、企業1の生産量の半分になってしまいます。
全体の生産量は
- q= q1*＋q2*＝1/2k・(a－c)＋1/4k・(a－c)＝3/4k・(a－c)
企業2の利益は
- u2*＝1/4k・(a－c－k・1/2k・(a－c)) 2＝1/16k・(a－c) 2
となり、企業1の利益u1*の半分にしかなりません。先んずれば人を制すということです。ワクチン開発が加熱する理由は、相手が自分の生産量の情報を知って最適生産を行う場合、理論的に先行生産する企業は2倍の利益を上げられるからです。