＜ζ’(0)の計算＞

ここでは

　ζ’(0)＝－1/2・log(2π)

を示します。

複素数sに対して、イ－タ関数

　η(s)＝1－1/2^s＋1/3^s－1/4^s＋・・・

はRe(s)＞0で収束し、この範囲で正則です。

イ－タ関数は

　｜η(s)｜＝｜1－1/2^s＋1/3^s－1/4^s＋・・｜≦1＋1/2^s＋1/3^s＋1/4^s＋・・＝ζ(s)

よりRe(s)＞1で収束することは明らかです。

イ－タ関数とゼ－タ関数には

　η(s)＝(1－2^1－s)ζ(s)

なる関係がありました。

　Lim_[s→1] η(s)＝Lim_[s→1] (1－2^1－s)/(s－1)・(s－1)ζ(s)

　　　　　＝Lim_[t→0] (2⁰－2^－t)/t・Lim_[s→1] (s－1)ζ(s)

　　　　　＝－Lim_[t→0] (2⁰－2^－t)/(0－t)・1

　　　　　＝Lim_[t→0] (－2^－t)’

　　　　　＝log2

ここで

　(－2^－t)’＝ (－e^－tlog2)’ ＝ log2 (e^－tlog2)＝log2・2^－t

を用いました。つまりs＝1はη(s)の除去可能な特異点であり、η(s)はs＝1で正則です。

ここでイ－タ関数の部分和

　η_N(s)＝Σ_n＝1～N　(－1)^n－1/n^s

を考えると　

　η_2＜η_4＜η_{6＜・・＜}η_2N＜η_2N＋2＜η_2N＋1＜η_{2N－1＜・・＜}η_5＜η_3＜η₁

なので、Re(s)＞0ならば

　Lim_[N→∞] (η_2N－η_2N－1)＝－Lim_[N→∞]1/(2N)^S＝0

だから

　Lim_[N→∞] η_2N＝Lim_[N→∞]η_2N－1＝η(s)

となります。イ－タ関数η(s)はRe(s)＞0で収束し、この範囲で正則です。

先ほどの関係式

　η(s)＝(1－2^1－s)ζ(s)

の両辺を微分すると

　η’(s)＝log2・2^1－sζ(s)＋(1－2^1－s)ζ’(s)

となります。s＝0を代入すると

η’(0)＝log2・2^1－0ζ(0)＋(1－2^1－0)

　　　＝log2・2・(－1/2)－ζ’(0)

　　　＝－log2－ζ’(0)

が得られます。η’(0)を求めるために、η(s)を変形すると

η(s)＝1－1/2^s＋1/3^s－1/4^s＋・・・

　　＝1/2[1+1－1/2^s－1/2^s＋1/3^s＋1/3^s－1/4^s－1/4^s＋・・・]

　　＝1/2+1/2 [(1－1/2^s)－(1/2^s－1/3^s)＋(1/3^s－1/4^s)－(1/4^s－1/5^s)＋・・・]

η(s)は全複素平面で正則なため、両辺を微分すると

　η’(s)＝1/2 [(0＋log2/2^s)－(－log2/2^s＋log 3/3^s)＋(－log 3/3^s＋log4/4^s)－(－log4/4^s＋log5/5^s)＋・・・]

となります。この右辺はRe(s)＞0の範囲で広義一様収束していることから、ｓ→＋0の極限をとると、

　η’(0)＝1/2 [log2－(－log2＋log 3)＋(－log 3＋log4)－(－log4＋log5)＋・・・]

　　　＝1/2・log(2/1・2/3・4/3・4/5・・・)

　　　＝1/2・log(π/2)

となります。ここでウォリスの公式を用いました。従って

　　　ζ’(0)＝－η’(0) －log2

　　　　　　＝－1/2・log(π/2) －1/2・log4

　　　　　　＝－1/2・log(2π)

が得られます。

 　η(0)＝(1－2^1－0)ζ(0)＝－1(－1/2)＝1/2

ですから、まとめると

　ζ(0)＝－1/2、ζ’(0)＝－1/2・log(2π)

　η(0)＝＋1/2、η’(0)＝＋1/2・log(π/2)

が成り立ちます。

＜ガンマ関数の解析接続＞

Γ関数は

　Γ(s)＝∫_[0、∞] t^s－1e^－tdt

で定義されています。sを複素数に拡張した場合に、区間[0、∞]での積分は収束するか調べて見ましょう。

s＝x＋iyとして、0＜x₀＜x₁なる任意の実数を用いて、0＜x₀＜x＜x₁とすれば、

　  Γ(s)＝∫_[0、1] t^s－1e^－tdt＋∫_[1、∞] t^s－1e^－tdt

　｜Γ(s)｜≦ ∫_[0、1] ｜t^s－1｜e^－tdt ＋ ∫_[1、∞] ｜t^s－1｜e^－tdt

であり、

　(1/2)^x＜(1/2)^x0　、2^x＜(2)^x1

に注意すると、

∫_[0、1] ｜t^s－1｜e^－tdt＝∫_[0、1] t ^x－1e^－tdt≦∫_[0、1] t ^x0－1e^－tdt≦∫_[0、∞] t ^x0－1e^－tdt＝Γ(x₀)

∫_[1、∞] ｜t^s－1｜e^－tdt＝∫_[1、∞] t ^x－1e^－tdt≦∫_[1、∞] t ^x1－1e^－tdt≦∫_[0、∞] t ^x1－1e^－tdt＝Γ(x₁)

ですから、

｜Γ(s)｜≦Γ(x₀)＋Γ(x₁)

が成り立ちます。従って0＜x₀＜Re(s)＜x₁において、ε→0のとき

　Γ_ε(s)＝∫_[ε、1/ε] t^s－1e^－tdt　→　Γ(s)＝∫_[0、∞] t^s－1e^－tdt　

となり、Γ_ε(s)はΓ(s)に一様収束します。Γ_ε(s)は有限区間での積分だから、sの正則関数です。

一様収束極限であるΓ(s)もx₀＜Re(s)＜x₁における正則関数です。x₀、x₁は任意だから、

Γ(s)はRe(s)＞0におけるsの正則関数になっています。nを任意の自然数とすれば、

　Γ(s)＝Γ(s＋n)／s(s＋1) (s＋2)・・ (s＋n－2) (s＋n－1)

が成り立ちます。Γ(s)はRe(s)＋n＞0における有理型関数で、s＝0,－1,－2,・・・－n+1でを1位の極とする以外は、正則になっています。nは任意なので、Γ(s)は複素数全体で正則な有理型関数で、s＝0,－1,－2,・・・で1位の極をもっています。Γ(1－s)は、s＝0,1,2,・・・で1位の極をもっています。さらに整数でない実数sに対して

　Γ(s)Γ(1－s)＝π/sin(πs)

が成り立ちます。複素関数論の一致の定理より、整数でない複素数に関して、この等式は成り立っています。この等式から、ガンマ関するΓ(s)は零点を持たない有理型関数であることが分かります。よって1/Γ(s)は複素数全体で正則な関数になっています。

＜リ－マン関数等式からオイラ－関数等式の導出＞

関数等式には、非対称型のオイラ－による関数等式

　ζ(1－s)=cos(sπ/2) Γ(s)ζ(s)／2^s－1π^s・・・・（1）

と対称型のリ－マンによる関数等式

　π^－s/2Γ(s/2)ζ(s)＝π^－(1－s)/2Γ((1－s)/2)ζ(1－s) ・・・・（2）

がありました。これまでオイラ－による関数等式からリ－マンによる関数等式を導出しました。今度は逆にリ－マンによる関数等式からオイラ－による関数等式を導出します。

(2)の両辺に(－s)Γ(－s/2)を掛けると、

　π^－s/2(－s)Γ(－s/2)Γ(s/2)ζ(s)＝π^－(1－s)/2(－s)Γ(－s/2)Γ((1－s)/2)ζ(1－s)

左辺の係数は

　π^－s/2 2(－s/2)Γ(－s/2)Γ(s/2)＝2π^－s/2Γ(1－s/2)Γ(s/2)＝π^－s/2 2π/ sin(πs/2)

となります。ここで、ガンマ関数の相反公式：Γ(s/2)Γ(1－s/2)＝π/sin(πs/2)を用いました。ルジャンドルの2倍公式

　Γ(2s)＝2^2s－1/π^1/2・Γ(s) Γ(s+1/2)

でs→－s/2に置き換えた

　Γ(－s)2^s+1π^1/2＝Γ(－s/2) Γ((1－s)/2)

を用いると、右辺の係数は

　π^－(1－s)/2 (－s)Γ(－s/2)Γ((1－s)/2)＝π^－(1－s)/2 (－s)Γ(－s) 2^s+1π^1/2

　　＝2^s+1π^s/2Γ(1－s)

となります。従って、左辺＝右辺は

　π^－s/22π/ sin(πs/2)ζ(s)＝2^s+1π^s/2Γ(1－s)ζ(1－s)

となります。

　ζ(s)＝2^sπ^s－1Γ(1－s)ζ(1－s) sin(πs/2) ・・・・（*）

が得られます。s→1－sに置き換えると

　sin(π(1－s) /2)＝sin(π/2)cos(－πs/2)＝cos(πs/2)

より

　ζ(1－s)＝Γ(s)ζ(s) cos(πs/2)／2^s－1π^s・・・・（1）

が得られます。

＜ゼ－タ関数の自明な零点はs＝－2k＞

　ζ(s)＝2^sπ^s－1Γ(1－s)ζ(1－s) sin(πs/2) ・・・・（*）

ζ(1－s)は1－s＞1、すなわち、s＜0で定義されています。

　sin(πs/2)＝0　→　s＝－2、－4、－6、・・－2k、・・・

なる負の偶数では

　ζ(－2k)＝0　for　k＝1、2、3・・・

が成り立ちます。これをζ(s) の自明な零点と言います。

また、この公式からζ(0)の値が得られます。

lim_[s→1] (s－1)ζ(s)＝1　→　lim_[s→0] ((1－s)－1)ζ(1－s)＝1

に注意すると

ζ(0)＝lim_[s→0] 2^sπ^s－1Γ(1－s)ζ(1－s) sin(πs/2)

　　　＝－1/2・Γ(1) lim_[s→0]sin(πs/2)/(πs/2)・(1－s－1)ζ(1－s)

　　　＝－1/2

となります。