複素平面全体で正則な関数を整関数といいます。R＞0に対して、整関数f(x)の最大値を

　M(R)＝max _{[｜z｜≦R]}｜f(z)｜

位数pを

　p＝lim sup _[R→∞] loglog M(R) / logR

とします。すなわちｐは

　max _{[｜z｜≦R]}｜f(z)｜≦exp(R^p＋ε)

が成り立つｐの内で最小のものです。

＜アダマ－ルの積定理＞

整関数f(x)の位数pが有限とする。Z＝0をm₀位の零点とする。他の零点をa1、a2、a3、・・・とし、その位数をm1、m2、m 3、・・・とする。このときｐ次以下の多項式g(z)が存在して、

　f(z)＝z^m0 e^g(z) Π_n=[1～∞] E(z/a_n,p)^m_n

と表せる。ここで

　E(z,0)＝1－z、

　E(z,1)＝(1－z) exp(z)

E(z,p)＝(1－z) exp(z＋z²/2＋z³/3＋・・・＋z^p/p)　ｐ＞1

である。

例えば、整関数f(z)＝sin(πz)の場合、位数p＝1、すなわち

　max _{[｜z｜≦R]}｜sin(πz)｜≦exp(R^1＋ε)

　e^iπz＝e^iπ(－iR)＝e^πRより、

　｜sin(πz)｜＝1/2・｜e^iπz＋e^－iπz｜＜1/2・｜e^πR＋e^－πR｜＜e^π・e^R

です。sin(πz)＝0　なるzは整数全体で、z→nで

　sin(πz)/ (z－n)＝(－1)ⁿ・sin(π(z－n)) / (z－n)　→　(－1)ⁿ

なので、全て1位の零点を有します。n∊Zに対して

　a_n＝n、m₀＝1、m_n＝1、g(z)＝az＋b

です。n≠0で

　sin(πz)＝z¹・exp(az＋b)・Π’_{n=[－∞～∞]} E(z/n,1)¹ 　　(n≠0)

　E(z,1)＝(1－z) exp(z)

だから、

sin(πz)＝z・exp(az＋b)・Π’_{n=[－∞～∞]} (1－z/n) exp(z/n)

　　　＝z・exp(az＋b)・Π_n=[1～∞] (1＋z/n) exp(－z/n) (1－z/n) exp(z/n)

　　　＝z・exp(az＋b)・Π_n=[1～∞] (1－z²/n²)

対数微分をとれば

　π・cos(πz)/ sin(πz)＝1/z＋a＋Σ_n=[1～∞]2z/ (z²－n²)

となります。すべて奇関数なので、a＝0となります。C＝e^bと置くと

　sin(πz)＝Cz・Π_n=[1～∞] (1－z²/n²)

　C＝lim_[z→0] π・sin(πz)／πz／Π_n=[1～∞] (1－z²/n²)＝π

よって

　sin(πz)＝πz・Π_n=[1～∞] (1－z²/n²)

が得られます。確かにz＝0、±nのときに零点になっています。

上式を展開すると

　sin(πz)＝πz－1/6・(πz)³＋1/5！・(πz)⁵＋・・・

　　　　＝πz・(1－Σ_n=[1～∞] z²/n²＋Σ_n>m≧1 z⁴/n² m²＋・・・)

z³の係数を較べて、

　－π³/6＝－πΣ_n=[1～∞] /n²＝－πζ(2)

　　ζ(2) ＝π²/6

が得られます。同様にz⁵の係数を較べて、

　π⁵/120＝πΣ_n>m≧1 z⁴/n² m²

　ζ(2) ²＝[Σ_n=[1～∞] 1 /n²]・[Σ_m=[1～∞]1 /m²]

　　　＝Σ_m=[1～∞] 1 /n⁴＋2Σ_n>m≧1 z⁴/n² m²

　(π²/6) ²＝ζ(4)＋2・π⁴/120

　ζ(4)＝π⁴/36－π⁴/60＝π⁴ (5/180－3/180)＝π⁴/90

が得られます。

＜ガンマ関数の積表示＞

ガンマ関数1/Γ(z)は整関数で、0以下の整数が位数1の零点でした。アダマ－ルの積定理より、

　1/Γ(z)＝ze^az＋bΠ_n=[1～∞] (1＋z/n) exp(－z/n)

よって

　1/zΓ(z)＝1/Γ(z＋1)＝e^az＋bΠ_n=[1～∞] (1＋z/n) exp(－z/n)

ここでz＝0とおくと

　1＝1/Γ(0＋1)＝e^a0＋bΠ_n=[1～∞] (1＋0/n) exp(－0/n)＝e^b

よって

　1/Γ(z)＝ze^azΠ_n=[1～∞] (1＋z/n) exp(－z/n)

ここでz＝1とおくと

　1/Γ(1)＝1e^aΠ_n=[1～∞] (1＋1/n) exp(－1/n)

対数をとって

　0＝ａ＋Σ_n=[1～∞][ log(1＋1/n)－1/n]

aの値は

　a＝lim_N→∞Σ_n=[1～N][ 1/n－log(n＋1)－logn)]

　　＝lim_N→∞　Σ_n=[1～N](1/n)－log(N＋1)

　　＝lim_N→∞　Σ_n=[1～N](1/n)－logN＋log(N/ (N＋1))

　　＝lim_N→∞　Σ_n=[1～N](1/n)－logN

　　＝γ

となります。γはオイラ－の定数と呼ばれる値で、γ＝0.57721・・・です。従って

　1/Γ(z)＝ze^γzΠ_n=[1～∞] (1＋z/n) exp(－z/n)

　1/Γ(－z)＝－ze^－γzΠ_n=[1～∞] (1－z/n) exp(＋z/n)

です。Γ(1－z)＝－zΓ(－z)より

　1/Γ(z)Γ(1－z)

＝－1／zΓ(z)Γ(－z)

＝1/z・ze^γzΠ_n=[1～∞] (1＋z/n) exp(－z/n)・ze^－γzΠ_n=[1～∞] (1－z/n) exp(＋z/n)

＝zΠ_n=[1～∞] (1＋z/n) (1－z/n)

＝zΠ_n=[1～∞] (1－z²/n²)

＝sin(πz)/π

となり、相反定理が得られます。

 

＜ゼ－タ関数の関数等式とテータ関数の関係＞

ゼ－タ関数の関数等式は

　ξ(x)＝π^－s/2Γ(s/2)ζ(s)

とおくと

　ξ(x)＝ξ(1－x)

で表されます。テータ関数

　θ(t)＝Σ_{n＝[－∞、∞]} e^{－πtn^2}

の変換公式は

　θ(t)＝θ(1/t)/√t

でした。

　Ψ(t)＝Σ_{n＝[1、∞]} e^{－πtn^2}

とおくと、

　θ(t)＝1＋2Ψ(t)

が成り立ちます。Γ関数の定義において、

　Γ(s)＝∫_[0、∞] x^s－1e^－xdx　(s＞0)

x＝πtn²と変数変換すると、dx＝πn²dtとなり

　Γ(s)＝∫_[0、∞] (πtn²)^s－1e^{－πtn^2}πn² dt

　　　＝π^sn^2s∫_[0、∞] t^s－1e^{－πtn^2} dt

なので

　Γ(s/2)＝π^s/2n^s∫_[0、∞] t^s/2－1e^{－πtn^2}dt

両辺をπ^s/2n^sで割って

　π^－s/2・1/n^s Γ(s/2)＝∫_[0、∞] t^s/2－1e^{－πtn^2} dt

これを全ての自然数nについて加えれば

　π^－s/2・Γ(s/2) [Σ_{n＝[1、∞]} 1/n^s]＝∫_[0、∞] t^s/2－1[Σ_{n＝[1、∞]} e^{－πtn^2}]dt

　π^－s/2・Γ(s/2)ζ(s) ＝∫_[0、∞] t^s/2－1Ψ(t) dt

を得ます。　

　右辺＝∫_[0、1] t^s/2－1Ψ(t) dt＋∫_[1、∞] t^s/2－1Ψ(t) dt

として、第一項で、t＝1/uと変数変換すると、dt＝－1/u² duより

　∫_[0、1] t^s/2－1Ψ(t) dt＝－∫_[∞、1] (1/u)^s/2－1Ψ(1/u) 1/u² du

 　　　　　　　　　　＝∫_[1、∞] u^－s/2－1Ψ(1/u) du

ここで

　　1＋2Ψ(u)＝θ(u)＝θ(1/u)/u^1/2＝[1＋2Ψ(1/u)]/u^1/2

となることから、

　Ψ(1/u)＝u^1/2Ψ(u)＋1/2・u^1/2－1/2

を得ます。これを代入すると

　∫_[0、1] t^s/2－1Ψ(t) dt

　＝∫_[1、∞] u^－s/2－1[u^1/2Ψ(u)＋1/2・u^1/2－1/2]du

　＝∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1}Ψ(u) du ＋1/2∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1} du－1/2∫_[1、∞] u^－s/2－1du

　＝∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1}Ψ(u) du ＋1/(s－1)－1/s

　＝∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1}Ψ(u) du －1／s(1－s)

となります。なぜなら、s>0より

　1/2∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1}du＝1/2・2/(1－s) [u^(1－s)/2]_u＝1、∞＝1/(s－1)　

　－1/2∫_[1、∞] u^－s/2－1du＝－1/2・(－2/s)[u^－s/2]_u＝1、∞＝－1/s

よって

　右辺＝∫_[0、1] t^s/2－1Ψ(t) dt＋∫_[1、∞] t^s/2－1Ψ(t) dt

　　　＝∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1}Ψ(u) du －1／s(1－s)＋∫_[1、∞] t^s/2－1Ψ(t) dt

　　　＝∫_[1、∞] [u^{(1－s)/2－1}＋u^s/2－1]Ψ(u) du －1／s(1－s)

となります。右辺は全ての実数sに対して積分が存在し、sを1－sに置き換えても、式が変わりません。

　左辺：ξ(s)＝π^－s/2・Γ(s/2)ζ(s)

とすると、

　ξ(s)＋1／s(1－s)＝∫_[1、∞] [t^{(1－s)/2－1}＋t^s/2－1]Ψ(t) dt

は全ての実数sで定義され、関数等式

　ξ(s)＝ξ(1－s)

が成り立ちます。