複素関数論からフーリエ変換を導く方法

<複素関数論からフーリエ変換を導く方法>

 f(t)=∫[-∞、∞] F(ω) eiωt dt

   F(ω)=1/2π・∫[-∞、∞] f(t) e-iωt dt

 

<コ-シ-の積分公式>

F(z)が有限領域Dで正則であり、領域D内部の単一閉曲線Cz内の点zにおける値は、

 F(z)=1/2πi・∫Cz F(ξ)/(ξ-z) dξ

と表される。

 

F(z)をn回微分すると

 F(n)(z)=n!/2πi・∫Cz F(ξ)/(ξ-z) n+1

となる。よってz=0のとき

   F(n)(0)/ n!=1/2πi・∫C0 F(ξ)/ξn+1 dξ ・・・(1)

である。いま

   Σn=Σn=-∞~∞

と略記する。関数F(z)をz=0の周りでローラン展開すると、F(z)は

 F(z)=Σn F(n)(0)/ n!zn

と表される。(1)式を代入すると

 F(z)=Σn [1/2πi・∫C0 F(ξ)/ξn+1 dξ] zn  ・・・(2)

と書ける。

 ei2π(t+T)/T=ei2πt/T・ei2π=ei2πt/T

であるから、関数f(t)を

 f(t)=F( ei2πt/T)  ・・・(3)

と定義すると、関数f(t)は

 f(t+T)=f(t)

により、周期Tの周期関数になる。(2)式を用いると

 f(t)=Σn [1/2πi・∫C0 F(ξ)/ξn+1 dξ] ( ei2πt/T) n  

  =Σn C n ( ei2πt/T) n  

と書ける。いま、ξ=ei2πs/T によってξからsに変数変換する。

 dξ=i2π/T・ei2πs/T ds

s=-T/2のとき、ξ=ei2π(-T/2)/T=e-iπ=-1

s=+T/2のとき、ξ=ei2π(+T/2)/T=e+iπ=-1

つまりξが半径1の円周C0上を動くとき、sは-T/2からT/2に動くことに注意すると、

C n=1/2πi・∫C0 F(ξ)/ξn+1

    =1/2πi・∫[-T/2、T/2] F(ei2πs/T)/ (ei2πs/T)n+1 2πi /T・ei2πs/T ds

 =1/T∫[-T/2、T/2] F(ei2πs/T)/ (ei2πs/T)n+1・ei2πs/T ds

 =1/T∫[-T/2、T/2] F(ei2πs/T) (ei2πs/T)-n ds

 =1/T∫[-T/2、T/2] f(s)e-i2πsn/T ds

となる。

 ωn=2πn/T

とおくと、

 Δω=ωn+1-ωn=2π/T → 0 as  T → ∞

 1/T=Δω/2π

なので、

f(t)=Σn C n eiωn t 

  =∫ [-∞、∞] dω[∫[-T/2、T/2] f(s)e-iωs ds] eiωt

    =∫ [-∞、∞] dω[1/2π∫[-∞、∞] f(s)e-iωs ds] eiωt

    =∫ [-∞、∞] F(ω) eiωt

F(ω)=1/2π∫[-∞、∞] f(s)e-iωs ds

が示された。