＜複素関数論からフーリエ変換を導く方法＞
f(t)＝∫[－∞、∞] F(ω) eiωt dt
F(ω)＝1/2π・∫[－∞、∞] f(t) e－iωt dt
＜コ－シ－の積分公式＞
F(z)が有限領域Dで正則であり、領域D内部の単一閉曲線Cz内の点zにおける値は、
F(z)＝1/2πi・∫Cz F(ξ)/(ξ－z) dξ
と表される。
F(z)をn回微分すると
F(n)(z)＝n！／2πi・∫Cz F(ξ)/(ξ－z) n+1 dξ
となる。よってz＝0のとき
F(n)(0)/ n！＝1/2πi・∫C0 F(ξ)/ξn+1 dξ ・・・（1）
である。いま
Σn＝Σn＝－∞～∞
と略記する。関数F(z)をｚ＝0の周りでローラン展開すると、F(z)は
F(z)＝Σn F(n)(0)/ n！zn
と表される。（1）式を代入すると
F(z)＝Σn [1/2πi・∫C0 F(ξ)/ξn+1 dξ] zn ・・・（2）
と書ける。
ei2π(t＋T)/T＝ei2πt/T・ei2π＝ei2πt/T
であるから、関数f(t)を
f(t)＝F( ei2πt/T) ・・・（3）
と定義すると、関数f(t)は
f(t＋T)＝f(t)
により、周期Tの周期関数になる。（2）式を用いると
f(t)＝Σn [1/2πi・∫C0 F(ξ)/ξn+1 dξ] ( ei2πt/T) n
＝Σn C n ( ei2πt/T) n
と書ける。いま、ξ＝ei2πs/T によってξからsに変数変換する。
dξ＝i2π/T・ei2πs/T ds
s＝－T/2のとき、ξ＝ei2π(－T/2)/T＝e－iπ＝－1
s＝＋T/2のとき、ξ＝ei2π(+T/2)/T＝e+iπ＝－1
つまりξが半径1の円周C0上を動くとき、sは－T/2からT/2に動くことに注意すると、
C n＝1/2πi・∫C0 F(ξ)/ξn+1 dξ
＝1/2πi・∫[－T/2、T/2] F(ei2πs/T)/ (ei2πs/T)n+1 2πi /T・ei2πs/T ds
＝1/T∫[－T/2、T/2] F(ei2πs/T)/ (ei2πs/T)n+1・ei2πs/T ds
＝1/T∫[－T/2、T/2] F(ei2πs/T) (ei2πs/T)－n ds
＝1/T∫[－T/2、T/2] f(s)e－i2πsn/T ds
となる。
ωn＝2πn/T
とおくと、
Δω＝ωn+1－ωn＝2π/T → 0 as T → ∞
1/T＝Δω/2π
なので、
f(t)＝Σn C n eiωn t
＝∫ [－∞、∞] dω[∫[－T/2、T/2] f(s)e－iωs ds] eiωt
＝∫ [－∞、∞] dω[1/2π∫[－∞、∞] f(s)e－iωs ds] eiωt
＝∫ [－∞、∞] F(ω) eiωt dω
F(ω)＝1/2π∫[－∞、∞] f(s)e－iωs ds
が示された。