＜ゼ－タ関数の関数等式の証明＞

関数等式には、非対称型のオイラ－による関数等式

　ζ(1－s)=cos(sπ/2) Γ(s)ζ(s)／2^s－1π^s・・・・（1）

と対称型のリ－マンによる関数等式

　π^－s/2Γ(s/2)ζ(s)＝π^－(1－s)/2Γ((1－s)/2)ζ(1－s) ・・・・（2）

があります。関数等式はゼ－タ関数の定義域を拡大する場面でよく用いられす。

ここではオイラ－による関数等式を導出し、その後

ガンマ関数の相反公式

   Γ(s)Γ(1－s)＝π/sin(πs)

においてs→(1－s)/2に置き換えた

　Γ((1－s)/2)Γ((1＋s)/2)＝π/cos(πs/2)　　・・・（5）

の式とルジャンドルの2倍公式

　Γ(2s)＝2^2s-1/π^1/2・Γ(s) Γ(s+1/2)

においてs→s/2に置き換えた

　Γ(s)＝2^s-1/π^1/2・Γ(s/2) Γ((s+1)/2) 　・・・（6）

式を用いて、リ－マンによる関数等式を導出します。

その前に、ゼ－タ関数の積分表示を求めましょう。

＜ゼ－タ関数の積分表示＞

ゼ－タ関数：ζ(s)＝Σ_n＝1-∞ 1/n^s

ガンマ関数：Γ(s)＝∫_[0、∞] x^s－1e^－xdx

のとき、s＞1に対して

　∫_[0、∞] x^s－1/(e^x－1)dx=ζ(s) Γ(s)

が成り立つ。

[証明]

　1/(e^x－1)＝e^－x/(1－e^－x)＝Σ_n=1-∞ (e^－x)ⁿ ＝Σ_n=1-∞ e^{－n x}

を代入すると、

∫_[0、∞] x^s－1/(e^x＋1)dx=∫_[0、∞] x^s－1Σ_n=1-∞ e^{－n x} dx

                   =Σ_n=1-∞∫_[0、∞] x^s－1 e^{－n x} dx

ここで、y＝nx　と変数変換すると

　∫_[0、∞] x^s－1/(e^x＋1)dx =Σ_n=1-∞∫_[0、∞] (y/n)^s－1 e^－y dy/n

=Σ_n=1-∞1/n^s∫_[0、∞] y^s－1 e^－y dy

＝ζ(s)Γ(s)

が示されました。

＜オイラ－による関数等式の導出＞

複素積分
　I(s)＝∫_C z^s－1/(e^z－1)dz

を2つの積分経路で求めて、等値することで(1)式のオイラ－による関数等式を導出します。

1）ハンケル積分経路による積分計算

Cをハンケル積分経路とすると、全複素平面で

　∫_C z^s－1/(e^z－1)dz＝(e^2πsi－1) ζ(s)Γ(s)　　　・・・・（3）

が成立することを示します。

Ｃは以下の3つの経路

　C1：z＝x＋iε　x＝∞→r

　C2：z＝re^iθ　θ＝0→2π

　C3：z＝x－iε　x＝r→∞

から成ります。

　I(s)＝∫_C z^s－1/(e^z－1)dz

　　＝∫_C1 z^s－1/(e^z－1)dz＋∫_C2 z^s－1/(e^z－1)dz＋∫_C3 z^s－1/(e^z－1)dz

である。まず経路1での積分はε→0で

　I₁(s)＝∫_C1 z^s－1/(e^z－1)dz＝－∫_[0、∞] x^s－1/(e^x－1)dx

となる。経路2の積分はr→0で

｜I₂(s)｜＝｜∫_C2 z^s－1/(e^z－1)dz｜≦∫_[0，2π] r^s/[(e^r－1)/r]dθ≦r^s・2π→　0　as r→0  s＞0

ゼロになる。経路3では、原点の周りの1回転して位相2πが付加されるので

　z ^s－1＝(re^i2π) ^s－1＝r ^s－1e^i2πs

より、e^i2πsが残る。rをxに置き換えて0から∞まで積分すると、

　I₃(s)＝∫_C3 z^s－1/(e^z－1)dz＝e^i2πs∫_[0、∞] x^s－1/(e^x－1)dx

従って、ε→0、r→0の極限では、ゼ－タ関数の積分表示を用いて

　I(s)＝－∫_[0、∞] x^s－1/(e^x－1)dx＋　0　＋e^i2πs∫_[0、∞] x^s－1/(e^x－1)dx

　　　＝(e^i2πs－1) ∫_[0、∞] x^s－1/(e^x－1)dx

　　　＝(e^i2πs－1) ζ(s)Γ(s)

が示されました。

ここでs＝1のとき

　e^i2πs－1＝0

なので、s＝1は(e^i2πs－1)の1位の零点です。ζ(s)＝1/(s－1)+F(s)と書け、ζ(s)はs＝1で1位の極を持ちます。従って、(e^i2πs－1)ζ(s)はs＝1で正則になっています。上式は全ての複素数sで成り立っています。

 

2）D積分経路による積分計算

下図のように積分経路Dを取ります。全複素平面で

∫_C z^s－1/(e^z－1)dz＝－∫_D z^s－1/(e^z－1)dz＝(2π)^s(e^3πsi/2－e^πsi/2)ζ(1－s)　・・（4）

が成立することを示します。

経路Dは

　D＝C₁＋C₂＋C₃＋C_R

から成ります。経路Dの4つの経路は

　C₁：z＝x－iε　x＝∞→r

　C₂：z＝re^iθ　θ＝2π→0

　C₃：z＝x＋iε　x＝∞→r

　C_R：z＝Re^iθ　θ＝0→2π

です。分母にe^zがあるのでC_Rに関する積分はR→∞でゼロになります。ところで

C₁＋C₂＋C₃の経路での積分は先ほどのハンケル積分経路と逆向きなので、

　∫_C z^s－1/(e^z－1)dz＝－∫_D z^s－1/(e^z－1)dz

となります。被積分関数の分母はz＝±2nπiでゼロになります。経路Dは、被積分関数の極、z＝±2πi、±4πi、±6πi、・・±2nπi（＜Ri）を含んでいます。従って経路Cでの積分は、経路D内の積分の留数の和を求めて、全体にマイナス符号をつければ得られます。

　z＝2nπiでの留数は、ｎ＞0のとき偏角はπ/2なので（i＝e^iπ/2)

　I_＋＝lim _[z→2nπi] (z－2nπi)・ z^s－1/(e^z－1)
　　＝lim _[z→2nπi]・ z^s－1／(e^z－e^2nπi )/
　　＝lim _[z→2nπi]・ z／(e^z)’

　　＝(2nπi) ^s－1

　　＝(2nπ) ^s－1(e^iπ/2) ^s－1

　　＝－i・(2nπ) ^s－1・e^iπs/2

となります。

　z＝－2nπiでの留数は、偏角は3π/2なので、（－i＝e^i3π/2)

I_－＝(－2nπi) ^s－1

　＝(2nπ) ^s－1(e^i3π/2) ^s－1

　＝i・(2nπ) ^s－1・e^i3πs/2

となります。R→∞のとき、ｎ＝1～∞の全ての留数の和を求めると、

　∫_D z^s－1/(e^z－1)dz＝Σ_n 2πi・(I_＋＋I_－)

　　　　　　　　　＝Σ_n 2πi[－i・(2nπ) ^s－1・(e^iπs/2－e^i3πs/2)]
　　　　　　　　　＝(2π) ^s(e^iπs/2－e^i3πs/2)・Σ_n 1/n ^1－s

　             　　　　 ＝(2π) ^s(e^iπs/2－e^i3πs/2)・ζ(1－s)

従って、

    ∫_C z^s－1/(e^z－1)dz＝(2π) ^s(e^i3πs/2－e^iπs/2)ζ(1－s)

が示されました。

＜オイラ－による関数等式の導出＞

2つの積分経路で求めた

   I(s)＝∫_C z^s－1/(e^z－1)dz

の値を等値することで、オイラ－による関数等式（非対称型）

　ζ(1－s)=cos(sπ/2) Γ(s)ζ(s)／2^s－1π^s・・・・（1）

を導出します。

2つの積分経路で求めた値は
　∫_C z^s－1/(e^z－1)dz＝(e^2πsi－1) ζ(s)Γ(s)　　・・・（3）

   ∫_C z^s－1/(e^z－1)dz＝－∫_D z^s－1/(e^z－1)dz＝(2π)s(e^3πsi/2－e^πsi/2) ζ(1－s)　・・（4）

でした。よって

   (e^2πsi－1) ζ(s)Γ(s)＝(2π)^s(e^3πsi/2－e^πsi/2) ζ(1－s)　

が成り立ちます。

　(e^2πsi－1)/ (e^3πsi/2－e^πsi/2)＝e^πsi(e^πsi－e^－πsi) / e^πsi (e^πsi/2－e^－πsi/2)

　＝(e^πsi/2＋e^－πsi/2) (e^πsi/2－e^－πsi/2) / (e^πsi/2－e^－πsi/2)

　＝2cos(πs/2)

ですから、

　2cos(πs/2)ζ(s)Γ(s)＝(2π)^sζ(1－s)　

よって

　ζ(1－s)＝2cos(πs/2)Γ(s)/ (2π)^s・ζ(s)

　　　　＝cos(πs/2)Γ(s)/ 2^s－1π^s・ζ(s)

が得られました。

＜2つの関数等式＞

オイラ－による関数等式（非対称型）

　ζ(1－s)=cos(sπ/2) Γ(s)ζ(s)／2^s－1π^s・・・・（1）

から、リ－マンによる関数等式（対称型）

　π^－s/2Γ(s/2)ζ(s)＝π^－(1－s)/2Γ((1－s)/2)ζ(1－s) ・・・・（2）

を導出します。

（2）式より

　ζ(1－s)＝π^－s/2Γ(s/2)ζ(s) π^(1－s)/2 /Γ((1－s)/2)

　　　　　＝π^－s+1/2Γ(s/2) /Γ((1－s)/2)・ζ(s)

より、

　　cos(sπ/2) Γ(s)／2^s－1π^s＝π^－s+1/2Γ(s/2) /Γ((1－s)/2)

すなわち

　　Γ((1－s)/2) Γ(s) cos(sπ/2)＝2^s－1π^1/2Γ(s/2)

が成り立つことを示します。

ガンマ関数の相反公式

　Γ(s)Γ(1－s)＝π/sin(πs)

でs→(1－s)/2に置き換えると、1－(1－s)/2＝(1＋s)/2より

　Γ((1－s)/2)Γ((1＋s)/2)＝π/sin(π(1－s)/2)

　Γ((1－s)/2)Γ((1＋s)/2)＝π/cos(πs/2)　　・・・（5）

が成り立ちます。

また、ルジャンドルの2倍公式

　Γ(2s)＝2^2s-1/π^1/2・Γ(s) Γ(s+1/2)

でs→s/2に置き換えると、

　Γ(s)＝2^s-1/π^1/2・Γ(s/2) Γ((s+1)/2) 　・・・（6）

が成り立ちます。

(5)、（6）式の辺々を掛け、Γ((s+1)/2)を消去すると

　Γ((1－s)/2)・Γ(s)＝π/cos(πs/2)・2^s－1/π^1/2・Γ(s/2)

すなわち

　Γ((1－s)/2) Γ(s) cos(sπ/2)＝2^s－1π^1/2Γ(s/2)

が成り立つことが示されました。関数等式はゼ－タ関数の定義域を拡大する場面でよく用いられす。