[Ⅲ] 　Φ(s)－1/(ｓ－1)はRe(s)≧1で正則である

という命題を5段階に分けて証明します。これは素数定理の証明で最も本質的な部分の証明です。

（1）ζ’(s)/ζ(s) ＋1/(s－1)　はRe(s)≧1で正則である、を示します。

　　ζ(s)‐1/(s－1)はRe(s)＞0で正則なので、係数a_nを用いて

・    ζ(s)＝1/(s－1)＋Σ_{[n＝0～∞]} a_n (s－1)ⁿ

と表示できます。項別微分ができるので、

・     ζ’(s)＝－1/(s－1)²＋Σ_{[n＝1～∞]} na_n (s－1)^n－1

となります。よって

　　　(s－1)ζ’(s)/ζ(s)

　　＝(s－1) [－1/(s－1)²＋Σ_{[n＝1～∞]} na_n (s－1)^n－1]／[1/(s－1)＋Σ_{[n＝0～∞]} a_n (s－1)ⁿ]

　　＝[－1＋Σ_{[n＝1～∞]} na_n (s－1)ⁿ⁺¹]／[1＋Σ_{[n＝0～∞]} a_n (s－1)ⁿ⁺¹]

　　→－1　as　s→1

つまり

• ζ’(s)/ζ(s) ＋1/(s－1)　はRe(s)≧1で正則である。

ことが示されました。

（2）Φ(s)‐1/(s‐1)＝‐[ζ′(s)／ζ(s)＋1/(s‐1)]－Σ[p] log(p)／p^s(p^s‐1) 　を示す。

ゼータ関数ζ(s)のオイラ－積表示

• ζ(s)＝Π[p] [1/(1‐1/p^s)]

の対数を取ると、

• log[ζ(s)]＝‐Σ[p] log(1‐1/p^s)

となります。これを微分した導関数は

• (1/p^s)′＝exp(‐slog(p))′＝‐log(p)／p^s

となります。よって

• ζ′(s)／ζ(s)＝‐Σ[p] (1‐1/p^s)′／(1‐1/p^s)＝‐Σ[p] log(p)/p^s／(1‐1/p^s)

より

• ζ′(s)／ζ(s)＝‐Σ[p] log(p)／(p^s‐1)

となります。ここでさらに

• 1/(p^s‐1)＝1/p^s＋1/ p^s(p^s‐1)

を用いると、

• ζ′(s)／ζ(s)＝‐Σ[p] log(p)／p^s－Σ[p] log(p)／p^s(p^s‐1)

つまり、ゼータ関数ζ(s)とファイ関数Φ(s)の関係式

• ζ′(s)／ζ(s)＝‐Φ(s)－Σ[p] log(p)／p^s(p^s‐1)　

が得られます。変形すると

• Φ(s)‐1/(s‐1)＝‐[ζ′(s)／ζ(s)＋1/(s‐1)]－Σ[p] log(p)／p^s(p^s‐1) 　

なる表式が得られました。

（3）右辺2項目Σ[p] log(p)／p^s(p^s‐1)はRe(s)＞1/2で正則である、を示します。

Re(s)＞1/2のとき

　｜p^s｜＞｜2^s｜＝2^Re(s) ＞√2

である。このとき

　　｜p^s｜＜(2＋√2)(｜p^s｜－1)　 →　1/(｜p^s｜－1)＜(2＋√2) /｜p^s｜

が成り立つ。理由は

　　　(2＋√2)＜ (1＋√2)｜p^s｜　→　√2＜｜p^s｜

　　　(2＋√2)/ (1＋√2)＝(2＋√2) (√2－1)＝2√2－2＋2－√2＝√2

従って

　　｜log(p)／p^s(p^s‐1)｜＜ log(p)／(｜p^s｜｜p^s‐1｜)＜ (2＋√2)・log(p)／p^2Re(s)

素数に関する和をとると
　　Σ[p]｜log(p)／p^s(p^s‐1)｜＜(2＋√2)・Σ[p] log(p)／p^2Re(s)＝(2＋√2)・Φ(2Re(s))

Φ(2Re(s))は2Re(s)＞1で収束するので、ワイヤストラスの収束判定定理よりRe(s)＞1/2の

領域で、Σ[p] log(p)／p^s(p^s‐1)は広義一様収束し、正則関数になることが示されました。

（4）Re(s)＝1でζ(s)＝0なる零点が存在しない、ことを示す。

複素共役変換：Conj(a+bi)＝a－bi、に関して

　　Conj[ζ(s)]＝ζ(Conj(s))

が成り立つ（鏡像原理）。なぜなら、

　　Conj[ζ(s)]＝Σ1/n^{Re(s)－Im(s)} ＝Σ1/n^Conj[s] ＝ζ(Conj(s))

だからです。実数a＞0に対して、

　　ζ(1＋ai)＝0　ならば　ζ(1－ai)＝0

　　ζ(1＋2ai)＝0　ならば　ζ(1－2ai)＝0

が成り立つ。

今、s＝1＋ai がζ(s)のu位の零点、s＝1＋2ai がζ(s)のv位の零点だとすると、

u≧0、v≧0なる整数を用いて

　ζ(s)＝b_u(s－1－ai)^u＋b_u+1(s－1－ai)^u+1＋b_u+2(s－1－ai)^u+2＋・・・

　ζ(s)＝C_v(s－1－2ai)^v＋C_v+1(s－1－2ai)^v+1＋C_v+2(s－1－2ai)^v+2＋・・・

と展開できます。鏡像原理から同様に、s＝1－ai がζ(s)のu位の零点、s＝1－2ai がζ(s)の

v位の零点となるので、

　ζ(s)＝b_u(s－1＋ai)^u＋b_u+1(s－1＋ai)^u+1＋b_u+2(s－1＋ai)^u+2＋・・・

　ζ(s)＝C_v(s－1＋2ai)^v＋C_v+1(s－1＋2ai)^v+1＋C_v+2(s－1＋2ai)^v+2＋・・・

と展開することもできます。各収束円内で項別微分して、

　ζ′(s)＝－1/(s－1)²＋a₁＋2a₂(s－1)＋3a₃(s－1)²＋・・・

　ζ’(s)＝ub_u(s－1∓ai)^u－1＋(u+1)b_u+1(s－1∓ai)^u＋(u+2)b_u+2(s－1∓ai)^u+1＋・・・

　ζ’(s)＝vC_v(s－1∓2ai)^v－1＋(v+1)C_v+1(s－1∓2ai)^v＋(v+2)C_v+2(s－1∓2ai)^v+1＋・・・

Φ関数に関して、

• 　Φ(s)＝－ζ′(s)／ζ(s)－Σ[p] log(p)／p^s(p^s‐1)　

が成り立っていました。このとき1）～3）の性質があります。

1) lim_[ε→0] εΦ(1+ε)＝1　e.　Φ(s)～1/(s－1)の項がある場合

　εΦ(1+ε)＝－εζ′(1+ε)／ζ(1+ε)－εΣ[p] log(p)／p^1+ε(p^1+ε‐1)　

　　＝－ε[－1/ε²＋a₁＋2a₂ε＋3a₃ε²＋・・・]/ [1/ε＋a₀＋a₁ε＋a₂ε²＋・・・]－O(ε)

　　＝[1－a₁ε²＋2a₂ε³＋3a₃ε⁴＋・・]/ [1＋a₀ε＋a₁ε²＋a₂ε²＋・・]－O(ε)

　　→1  as ε→0

2) lim_[ε→0] εΦ(1+ε±ai)＝－u　e.　Φ(s)～－u/(s－1∓ai)の項がある場合

　εΦ(1+ε±ai)＝－εζ′(1+ε±ai)／ζ(1+ε±ai)－εΣ[p] log(p)／p^1+ε±ai (p^1+ε±ai‐1)　

＝－ε[ub_uε^u－1＋(u+1)b_u+1ε^u＋(u+2)b_u+2ε^u+1＋・]/ [b_uε^u＋b_u+1ε^u+1＋b_u+2ε^u+2＋・] －O(ε)

＝－[ub_u＋(u+1)b_u+1ε＋(u+2)b_u+2ε²＋・・]/ [b_u＋b_u+1ε¹＋b_u+2ε²＋・・]－O(ε)

 →－u　as ε→0

3) lim_[ε→0] εΦ(1+ε±2ai)＝－v　e.　Φ(s)～－v/(s－1±2ai)の項がある場合

　εΦ(1+ε±2ai)＝－εζ′(1+ε±2ai)／ζ(1+ε±2ai)－εΣ[p] log(p)／p^1+ε±2ai (p^1+ε±2ai‐1)　

＝－ε[vC_vε^v－1＋(v+1)C_v+1ε^v＋(v+2)C_v+2ε^v+1＋・]/ [C_vε^v＋C_v+1ε^v+1＋C_v+2ε^v+2＋・]－O(ε)

＝－[vC_v＋(v+1)C_v+1ε＋(v+2)C_v+2ε²＋・・]/ [C_v＋C_v+1ε¹＋C_v+2ε²＋・・]－O(ε)

→－v　as ε→0

4）恒等式：

• [2Re(p^ia/2)]⁴＝p^2ia＋4p^ia＋6＋4p^－ia＋p^－2ia

が成り立つ。

[2Re(p^ia/2)]⁴＝[p^ia/2＋p^－ia/2]⁴＝[p^ia＋p^－ia＋2]²＝p^2ia＋p^－2ia＋4＋2 p^iap^－ia＋4 p^ia＋4 p^－ia

　               ＝p^2ia＋4p^ia＋6＋4p^－ia＋p^－2ia

5）εΣ_[p]log(p)/p^1+ε[2Re(p^ia/2)]⁴

　　＝εΦ(1＋ε－2ai)＋4εΦ(1＋ε－ai)＋6εΦ(1＋ε)＋4εΦ(1＋ε＋ai)＋εΦ(1＋ε＋2ai)

　　→　2(3－4u－v)　as ε→0

が成り立つ。

　　0＜εΣ_[p]log(p)/p^1+ε[2Re(p^ia/2)]⁴

　　　＝εΣ_[p]log(p)/p^1+ε[p^2ia＋4p^ia＋6＋4p^－ia＋p^－2ia]

　　　＝εΣ_[p]log(p)/p^1+ε－2ia＋4εΣ_[p]log(p)/p^1+ε+ia＋6εΣ_[p]log(p)/p^1+ε

　　　　　　　　　　　　　＋4εΣ_[p]log(p)/p^1+ε－ia＋εΣ_[p]log(p)/p^1+ε+2ia

　　　＝εΦ(1＋ε－2ai)＋4εΦ(1＋ε－ai)＋6εΦ(1＋ε)＋4εΦ(1＋ε＋ai)＋εΦ(1＋ε＋2ai)

　　　→　－v－4u＋6－4u－v ＝ 2(3－4u－v)＞0　as ε→0

6）ζ(s)はs＝1±aiに零点を持たない、を示す。

結局

• u≧0、v≧0、3－4u－v＞0　

より、u＝0　が結論される。任意の正数aに対して、ζ(s)はs＝1±aiに零点を持たない。

• ζ(s)＝b₀＋b₁(s－1±ai)＋b₂(s－1±ai)²＋・・・、b₀≠0

と展開できる。以上をまとめると

（1）ζ’(s)/ζ(s) ＋1/(s－1)　はRe(s)≧1で正則である。　

（2）Φ(s)‐1/(s‐1)＝‐[ζ′(s)／ζ(s)＋1/(s‐1)]－Σ[p] log(p)／p^s(p^s‐1)

（3）Σ[p] log(p)／p^s(p^s‐1)はRe(s)＞1/2で正則である。

（4）Re(s)＝1でζ(s)＝0なる零点が存在しない。

以上より、

• Φ(s)‐1/(s‐1)はRe(s)≧1で正則である。

と結論できます。

＜メモ＞

・Re(s)＞1で、オイラ－積　ζ(s)＝Π[p] [1/(1‐1/p^s)]が収束する

ことを示しておきましょう。

• 1/(1‐1/p^s)＝＝p^s/(p^s‐1)＝1＋1/(p^s‐1)

と書けます。今

｜p^s｜＝p^Re(s) ＞p≧2　より、　2｜p^s｜－｜p^s｜＞2　→　2(｜p^s｜－1)＞｜p^s｜＞0　

→　1/(｜p^s｜－1)＜2/｜p^s｜

が成り立ちます。

• ｜1/(p^s‐1)｜≦1/(｜p^s｜‐1)＜2/｜p^s｜＝2/p^Re(s)

が成り立ちます。素数pに対してn≦p＜n+1なる自然数nが存在します。

• f_n(s)＝δ_np/(p^s‐1)、M_n＝1/n^Re(s)

とすると、上の性質より

• ｜f_n(s)｜≦｜1/(p^s‐1)｜≦ 1/(｜p^s｜‐1)≦ 2/p^Re(s)≦ 2/n^Re(s)＝ M_n

であり、Re(s)＞1で

• Σ_{[n＝1～∞]} M_n＝ 2Σ_{[n＝1～∞]} 1/n^Re(s) ＝2ζ( Re(s))　が収束する。

従って、無限積の収束判定の定理より、オイラ－積

• Π_[n] [1＋f_n(s)]＝ Π_[n] [1＋δ_np/(p^s‐1)] ＝ Π_[p] [1＋1/(p^s‐1)]＝ Π_[p] [1/(1‐1/p^s)]

が収束します。

＜無限積の収束判定定理＞

関数列{f_n(s)}_{n＝1.2.3・・}に対して、正の数列{M_n} _{n＝1.2.3・・}が、任意のｓの領域において

1）｜f_n(s)｜≦M_n

2）Σ_{[n＝1～∞]} M_n＜∞

の2条件を満たすならば、無限積

• Π_{[n＝1～∞]} [1＋f_n(s)]

が収束する。

証明）　S_n＝Σ_[k=1～n] f_k(s)、P_n＝Π_[k＝1～n] [1＋f_k(s)]とする。

S_n＝Σ_[n=1～n] f_n(s)＜P_n＝Π_[k＝1～n] [1＋f_k(s)]＜Π_[k＝1～n]＝exp[Σ_[k＝1～n]f_k(s)]＝exp[S_n]

0＜｜S_n｜≦Σ_[n=1～n] M_n＜｜P_n｜＜exp[｜S_n｜] ≦exp[Σ_[n=1～n] M_n]

この関係は、n→∞では、

0＜｜S_∞｜≦Σ_[n=1～∞] M_n＜｜P_n＝∞｜＜exp[Σ_[n=1～∞] M_n]＜∞

となるので、Σ_[n=1～∞] M_nが収束するならば、｜P_n＝∞｜＝Π_{[n＝1～∞]} [1＋f_n(s)]が存在する。

注意：｜P_n＝∞｜が存在すれば、｜S_n＝∞｜も存在します。