[Ⅲ] Φ(s)-1/(s-1)はRe(s)≧1で正則である
という命題を5段階に分けて証明します。これは素数定理の証明で最も本質的な部分の証明です。
(1)ζ’(s)/ζ(s) +1/(s-1) はRe(s)≧1で正則である、を示します。
ζ(s)‐1/(s-1)はRe(s)>0で正則なので、係数anを用いて
・ ζ(s)=1/(s-1)+Σ[n=0~∞] an (s-1)n
と表示できます。項別微分ができるので、
・ ζ’(s)=-1/(s-1)2+Σ[n=1~∞] nan (s-1)n-1
となります。よって
(s-1)ζ’(s)/ζ(s)
=(s-1) [-1/(s-1)2+Σ[n=1~∞] nan (s-1)n-1]/[1/(s-1)+Σ[n=0~∞] an (s-1)n]
=[-1+Σ[n=1~∞] nan (s-1)n+1]/[1+Σ[n=0~∞] an (s-1)n+1]
→-1 as s→1
つまり
- ζ’(s)/ζ(s) +1/(s-1) はRe(s)≧1で正則である。
ことが示されました。
(2)Φ(s)‐1/(s‐1)=‐[ζ′(s)/ζ(s)+1/(s‐1)]-Σ[p] log(p)/ps(ps‐1) を示す。
ゼータ関数ζ(s)のオイラ-積表示
- ζ(s)=Π[p] [1/(1‐1/ps)]
の対数を取ると、
- log[ζ(s)]=‐Σ[p] log(1‐1/ps)
となります。これを微分した導関数は
- (1/ps)′=exp(‐slog(p))′=‐log(p)/ps
となります。よって
- ζ′(s)/ζ(s)=‐Σ[p] (1‐1/ps)′/(1‐1/ps)=‐Σ[p] log(p)/ps/(1‐1/ps)
より
- ζ′(s)/ζ(s)=‐Σ[p] log(p)/(ps‐1)
となります。ここでさらに
- 1/(ps‐1)=1/ps+1/ ps(ps‐1)
を用いると、
- ζ′(s)/ζ(s)=‐Σ[p] log(p)/ps-Σ[p] log(p)/ps(ps‐1)
つまり、ゼータ関数ζ(s)とファイ関数Φ(s)の関係式
- ζ′(s)/ζ(s)=‐Φ(s)-Σ[p] log(p)/ps(ps‐1)
が得られます。変形すると
- Φ(s)‐1/(s‐1)=‐[ζ′(s)/ζ(s)+1/(s‐1)]-Σ[p] log(p)/ps(ps‐1)
なる表式が得られました。
(3)右辺2項目Σ[p] log(p)/ps(ps‐1)はRe(s)>1/2で正則である、を示します。
Re(s)>1/2のとき
|ps|>|2s|=2Re(s) >√2
である。このとき
|ps|<(2+√2)(|ps|-1) → 1/(|ps|-1)<(2+√2) /|ps|
が成り立つ。理由は
(2+√2)< (1+√2)|ps| → √2<|ps|
(2+√2)/ (1+√2)=(2+√2) (√2-1)=2√2-2+2-√2=√2
従って
|log(p)/ps(ps‐1)|< log(p)/(|ps||ps‐1|)< (2+√2)・log(p)/p2Re(s)
素数に関する和をとると
Σ[p]|log(p)/ps(ps‐1)|<(2+√2)・Σ[p] log(p)/p2Re(s)=(2+√2)・Φ(2Re(s))
Φ(2Re(s))は2Re(s)>1で収束するので、ワイヤストラスの収束判定定理よりRe(s)>1/2の
領域で、Σ[p] log(p)/ps(ps‐1)は広義一様収束し、正則関数になることが示されました。
(4)Re(s)=1でζ(s)=0なる零点が存在しない、ことを示す。
複素共役変換:Conj(a+bi)=a-bi、に関して
Conj[ζ(s)]=ζ(Conj(s))
が成り立つ(鏡像原理)。なぜなら、
Conj[ζ(s)]=Σ1/nRe(s)-Im(s) =Σ1/nConj[s] =ζ(Conj(s))
だからです。実数a>0に対して、
ζ(1+ai)=0 ならば ζ(1-ai)=0
ζ(1+2ai)=0 ならば ζ(1-2ai)=0
が成り立つ。
今、s=1+ai がζ(s)のu位の零点、s=1+2ai がζ(s)のv位の零点だとすると、
u≧0、v≧0なる整数を用いて
ζ(s)=bu(s-1-ai)u+bu+1(s-1-ai)u+1+bu+2(s-1-ai)u+2+・・・
ζ(s)=Cv(s-1-2ai)v+Cv+1(s-1-2ai)v+1+Cv+2(s-1-2ai)v+2+・・・
と展開できます。鏡像原理から同様に、s=1-ai がζ(s)のu位の零点、s=1-2ai がζ(s)の
v位の零点となるので、
ζ(s)=bu(s-1+ai)u+bu+1(s-1+ai)u+1+bu+2(s-1+ai)u+2+・・・
ζ(s)=Cv(s-1+2ai)v+Cv+1(s-1+2ai)v+1+Cv+2(s-1+2ai)v+2+・・・
と展開することもできます。各収束円内で項別微分して、
ζ′(s)=-1/(s-1)2+a1+2a2(s-1)+3a3(s-1)2+・・・
ζ’(s)=ubu(s-1∓ai)u-1+(u+1)bu+1(s-1∓ai)u+(u+2)bu+2(s-1∓ai)u+1+・・・
ζ’(s)=vCv(s-1∓2ai)v-1+(v+1)Cv+1(s-1∓2ai)v+(v+2)Cv+2(s-1∓2ai)v+1+・・・
Φ関数に関して、
- Φ(s)=-ζ′(s)/ζ(s)-Σ[p] log(p)/ps(ps‐1)
が成り立っていました。このとき1)~3)の性質があります。
1) lim[ε→0] εΦ(1+ε)=1 e. Φ(s)~1/(s-1)の項がある場合
εΦ(1+ε)=-εζ′(1+ε)/ζ(1+ε)-εΣ[p] log(p)/p1+ε(p1+ε‐1)
=-ε[-1/ε2+a1+2a2ε+3a3ε2+・・・]/ [1/ε+a0+a1ε+a2ε2+・・・]-O(ε)
=[1-a1ε2+2a2ε3+3a3ε4+・・]/ [1+a0ε+a1ε2+a2ε2+・・]-O(ε)
→1 as ε→0
2) lim[ε→0] εΦ(1+ε±ai)=-u e. Φ(s)~-u/(s-1∓ai)の項がある場合
εΦ(1+ε±ai)=-εζ′(1+ε±ai)/ζ(1+ε±ai)-εΣ[p] log(p)/p1+ε±ai (p1+ε±ai‐1)
=-ε[ubuεu-1+(u+1)bu+1εu+(u+2)bu+2εu+1+・]/ [buεu+bu+1εu+1+bu+2εu+2+・] -O(ε)
=-[ubu+(u+1)bu+1ε+(u+2)bu+2ε2+・・]/ [bu+bu+1ε1+bu+2ε2+・・]-O(ε)
→-u as ε→0
3) lim[ε→0] εΦ(1+ε±2ai)=-v e. Φ(s)~-v/(s-1±2ai)の項がある場合
εΦ(1+ε±2ai)=-εζ′(1+ε±2ai)/ζ(1+ε±2ai)-εΣ[p] log(p)/p1+ε±2ai (p1+ε±2ai‐1)
=-ε[vCvεv-1+(v+1)Cv+1εv+(v+2)Cv+2εv+1+・]/ [Cvεv+Cv+1εv+1+Cv+2εv+2+・]-O(ε)
=-[vCv+(v+1)Cv+1ε+(v+2)Cv+2ε2+・・]/ [Cv+Cv+1ε1+Cv+2ε2+・・]-O(ε)
→-v as ε→0
4)恒等式:
- [2Re(pia/2)]4=p2ia+4pia+6+4p-ia+p-2ia
が成り立つ。
[2Re(pia/2)]4=[pia/2+p-ia/2]4=[pia+p-ia+2]2=p2ia+p-2ia+4+2 piap-ia+4 pia+4 p-ia
=p2ia+4pia+6+4p-ia+p-2ia
5)εΣ[p]log(p)/p1+ε[2Re(pia/2)]4
=εΦ(1+ε-2ai)+4εΦ(1+ε-ai)+6εΦ(1+ε)+4εΦ(1+ε+ai)+εΦ(1+ε+2ai)
→ 2(3-4u-v) as ε→0
が成り立つ。
0<εΣ[p]log(p)/p1+ε[2Re(pia/2)]4
=εΣ[p]log(p)/p1+ε[p2ia+4pia+6+4p-ia+p-2ia]
=εΣ[p]log(p)/p1+ε-2ia+4εΣ[p]log(p)/p1+ε+ia+6εΣ[p]log(p)/p1+ε
+4εΣ[p]log(p)/p1+ε-ia+εΣ[p]log(p)/p1+ε+2ia
=εΦ(1+ε-2ai)+4εΦ(1+ε-ai)+6εΦ(1+ε)+4εΦ(1+ε+ai)+εΦ(1+ε+2ai)
→ -v-4u+6-4u-v = 2(3-4u-v)>0 as ε→0
6)ζ(s)はs=1±aiに零点を持たない、を示す。
結局
- u≧0、v≧0、3-4u-v>0
より、u=0 が結論される。任意の正数aに対して、ζ(s)はs=1±aiに零点を持たない。
- ζ(s)=b0+b1(s-1±ai)+b2(s-1±ai)2+・・・、b0≠0
と展開できる。以上をまとめると
(1)ζ’(s)/ζ(s) +1/(s-1) はRe(s)≧1で正則である。
(2)Φ(s)‐1/(s‐1)=‐[ζ′(s)/ζ(s)+1/(s‐1)]-Σ[p] log(p)/ps(ps‐1)
(3)Σ[p] log(p)/ps(ps‐1)はRe(s)>1/2で正則である。
(4)Re(s)=1でζ(s)=0なる零点が存在しない。
以上より、
- Φ(s)‐1/(s‐1)はRe(s)≧1で正則である。
と結論できます。
<メモ>
・Re(s)>1で、オイラ-積 ζ(s)=Π[p] [1/(1‐1/ps)]が収束する
ことを示しておきましょう。
- 1/(1‐1/ps)==ps/(ps‐1)=1+1/(ps‐1)
と書けます。今
|ps|=pRe(s) >p≧2 より、 2|ps|-|ps|>2 → 2(|ps|-1)>|ps|>0
→ 1/(|ps|-1)<2/|ps|
が成り立ちます。
- |1/(ps‐1)|≦1/(|ps|‐1)<2/|ps|=2/pRe(s)
が成り立ちます。素数pに対してn≦p<n+1なる自然数nが存在します。
- fn(s)=δnp/(ps‐1)、Mn=1/nRe(s)
とすると、上の性質より
- |fn(s)|≦|1/(ps‐1)|≦ 1/(|ps|‐1)≦ 2/pRe(s)≦ 2/nRe(s)= Mn
であり、Re(s)>1で
- Σ[n=1~∞] Mn= 2Σ[n=1~∞] 1/nRe(s) =2ζ( Re(s)) が収束する。
従って、無限積の収束判定の定理より、オイラ-積
- Π[n] [1+fn(s)]= Π[n] [1+δnp/(ps‐1)] = Π[p] [1+1/(ps‐1)]= Π[p] [1/(1‐1/ps)]
が収束します。
<無限積の収束判定定理>
関数列{fn(s)}n=1.2.3・・に対して、正の数列{Mn} n=1.2.3・・が、任意のsの領域において
1)|fn(s)|≦Mn
2)Σ[n=1~∞] Mn<∞
の2条件を満たすならば、無限積
- Π[n=1~∞] [1+fn(s)]
が収束する。
証明) Sn=Σ[k=1~n] fk(s)、Pn=Π[k=1~n] [1+fk(s)]とする。
Sn=Σ[n=1~n] fn(s)<Pn=Π[k=1~n] [1+fk(s)]<Π[k=1~n]=exp[Σ[k=1~n]fk(s)]=exp[Sn]
0<|Sn|≦Σ[n=1~n] Mn <|Pn|<exp[|Sn|] ≦exp[Σ[n=1~n] Mn]
この関係は、n→∞では、
0<|S∞|≦Σ[n=1~∞] Mn<|Pn=∞|<exp[Σ[n=1~∞] Mn]<∞
となるので、Σ[n=1~∞] Mnが収束するならば、|Pn=∞|=Π[n=1~∞] [1+fn(s)]が存在する。
注意:|Pn=∞|が存在すれば、|Sn=∞|も存在します。