＜複素関数論からフーリエ変換を導く方法＞

　f(t)＝∫_{[－∞、∞]} F(ω) e^iωt dt

   F(ω)＝1/2π・∫_{[－∞、∞]} f(t) e^－iωt dt

 

＜コ－シ－の積分公式＞

F(z)が有限領域Dで正則であり、領域D内部の単一閉曲線Cz内の点zにおける値は、

　F(z)＝1/2πi・∫_Cz F(ξ)/(ξ－z) dξ

と表される。

 

F(z)をn回微分すると

　F⁽ⁿ⁾(z)＝n！／2πi・∫_Cz F(ξ)/(ξ－z) ⁿ⁺¹ dξ

となる。よってz＝0のとき

   F⁽ⁿ⁾(0)/ n！＝1/2πi・∫_C0 F(ξ)/ξⁿ⁺¹ dξ　・・・（1）

である。いま

   Σ_n＝Σ_{n＝－∞～∞}

と略記する。関数F(z)をｚ＝0の周りでローラン展開すると、F(z)は

　F(z)＝Σ_n F⁽ⁿ⁾(0)/ n！zⁿ

と表される。（1）式を代入すると

　F(z)＝Σ_n [1/2πi・∫_C0 F(ξ)/ξⁿ⁺¹ dξ] zⁿ・・・（2）

と書ける。

　e^{i2π(t＋T)/T}＝e^i2πt/T・e^i2π＝e^i2πt/T

であるから、関数f(t)を

　f(t)＝F( e^i2πt/T)　　・・・（3）

と定義すると、関数f(t)は

　f(t＋T)＝f(t)

により、周期Tの周期関数になる。（2）式を用いると

　f(t)＝Σ_n [1/2πi・∫_C0 F(ξ)/ξⁿ⁺¹ dξ] ( e^i2πt/T) ⁿ

　　＝Σ_n C _n ( e^i2πt/T) ⁿ

と書ける。いま、ξ＝e^i2πs/T によってξからsに変数変換する。

　dξ＝i2π/T・e^i2πs/T ds

s＝－T/2のとき、ξ＝e^{i2π(－T/2)/T}＝e^－iπ＝－1

s＝＋T/2のとき、ξ＝e^i2π(+T/2)/T＝e^+iπ＝－1

つまりξが半径1の円周C₀上を動くとき、sは－T/2からT/2に動くことに注意すると、

C _n＝1/2πi・∫_C0 F(ξ)/ξⁿ⁺¹ dξ

    ＝1/2πi・∫_{[－T/2、T/2]} F(e^i2πs/T)/ (e^i2πs/T)ⁿ⁺¹ 2πi /T・e^i2πs/T ds

　＝1/T∫_{[－T/2、T/2]} F(e^i2πs/T)/ (e^i2πs/T)ⁿ⁺¹・e^i2πs/T ds

　＝1/T∫_{[－T/2、T/2]} F(e^i2πs/T) (e^i2πs/T)^－n ds

　＝1/T∫_{[－T/2、T/2]} f(s)e^－i2πsn/T ds

となる。

　ω_n＝2πn/T

とおくと、

　Δω＝ω_n+1－ω_n＝2π/T → 0　as  T → ∞

　1/T＝Δω/2π

なので、

f(t)＝Σ_n C _n e^{iωn t}

　 ＝∫ _{[－∞、∞]} dω[∫_{[－T/2、T/2]} f(s)e^－iωs ds] e^iωt

    ＝∫ _{[－∞、∞]} dω[1/2π∫_{[－∞、∞]} f(s)e^－iωs ds] e^iωt

    ＝∫ _{[－∞、∞]} F(ω) e^iωt dω

F(ω)＝1/2π∫_{[－∞、∞]} f(s)e^－iωs ds

が示された。