ペーター・グスタフ・ディリクレ（Peter Gustav Dirichlet, 1805年～1859年）はフランス生まれのドイツ人数学者です。ディリクレは現代的な関数概念（写像）を与えたことで知られています。家族の名前Dirichletは祖父がベルギ-のリシュレの街の出身だったことに由来しています。ペータ－はガウスの「整数論」を持ってフランスへ行き、パリ大学などで、フ－リエ（指導教官）、ラプラス、ルジャンドルらから数論と解析学を学びます。ペータ－は22歳の時にドイツに戻り、10年間ベルリン大学に滞在し、レベッカ・メンデルスゾーンと結婚します。妻のお兄さんは有名な作曲家で、彼の家は絶えず賑やかだったそうです。ディリクレは1855年からガウスの後継として、ゲッティンゲン大学で教授を務めます。友達の数学者にカ－ル・グスタフ・ヤコビがいます。彼の教え子たちにはアイゼンシュタイン、リーマン、クロネッカー、リプシッツがいます。友人の数学者リヒャルト・デ‐デキントが彼の研究結果をまとめて『整数論講義』を出版しました。ディリクレの名前が付けられた定理は、数論や解析学で数多く出てきます。ディリクレの積分定理は師匠のフーリエ変換の数学的基礎づけを行うためのものです。
＜ディリクレの積分定理＞
区分的に滑らかな関数f(x)に関して
Lim λ→∞∫[－a,－a] f(x)sin(λx)／x dx＝π/2・[f(+0)＋f(－0)]
が成り立つ。ここで
f(+0)＝Lim x→0 f(x) for x＞0
f(－0)＝Lim x→0 f(x) for x＜0
のことです。f(x)がx＝0で連続ならば、
Lim λ→∞∫[－a,－a] f(x)sin(λx)／x dx＝π・f(0)
となります。「区分的に滑らか」とは積分区間で有限個の有限な不連続点があり、その間は1回微分可能であることを意味しています。
[証明]
I(λ)＝∫[b,ｃ] f(x)sin(λx) dx
とおくと、
Lim λ→∞ I(λ)＝0 ・・・（1）
が成り立ちます。（1）式は後で証明します。一方
∫[0,∞] sin(λx) /x dx＝π/2 （λ＞0） ・・・（2）
が成り立ちます。この積分をディリクレ積分と呼びます。ディリクレ積分は収束しますが、絶対収束しない積分として有名です。（2）式も後で証明します。
I(λ)において、f(x)→{f(x)－f(+0)}／x と置き換えると、
f’(0)＝Lim x→0{f(x)－f(+0)}／x
は存在しているので、
∫[0,a] {f(x)－f(+0)}／x ・sin(λx) dx＋∫[－a,0] {f(x)－f(+0)}／x ・sin(λx) dx →0 λ→∞
が成り立ちます。すなわち
∫[－a,a] f(x) sin(λx)／x dx＝f(+0)∫[0,a] sin(λx)／x dx＋f(－0)∫[－a,0] sin(λx)／x dx
x’＝－x とおくと
∫[－a,0] sin(λx)／x dx＝－∫[＋a,0] sin(λx’)／x’ dx’＝∫[0,a] sin(λx)／x dx
であるから、
∫[－a,a] f(x) sin(λx)／x dx＝[f(+0)＋f(－0)]・∫[0,a] sin(λx)／x dx
となります。a→∞をとると、（2）式より
∫[－∞,∞] f(x) sin(λx)／x dx＝[f(+0)＋f(－0)]・π/2
が得られます。
f(x)＝1のとき、x’＝λxとおくと
∫[－∞,∞] sin(λx)／x dx＝∫[－∞,∞] sin(x’)／x’ dx’＝π/2
が成り立ちます。
次に（1）式の証明を行います。x＝y＋π/λ とします。
Sin(λ(y＋π/λ))＝sin(λy＋π)＝－sin(λy)
I(λ)＝－∫[b－π/λ、c－π/λ] f(y＋π/λ) sin(λy)dy・・・（3）
となります。
I(λ)＝∫[b,c] f(x)sin(λx) dx・・・（4）
(3)＋(4)を行うと、積分区間を
[b －π/λ、c]＝[b－π/λ、b]＋[b、c－π/λ]＋[c－π/λ、c]
に分割できるので、
2 I(λ)＝－∫[b－π/λ、b] f(x＋π/λ)sin(λx) dx＋∫[b、c－π/λ] [ f(x)－f(x＋π/λ)]sin(λx) dx
＋∫[c－π/λ、c] f(x)sin(λx) dx
となります。ワイエルシュトラスの最大値定理より、閉区間[b、c]において、最大値M＞0が存在して
｜f(x) sin(λx)｜≦｜f(x)｜≦M となるので、
2｜I(λ)｜≦2Mπ/λ＋∫[b、c－π/λ] ｜f(x)－f(x＋π/λ)｜dx ＜2ε
となります。任意のε＞0に対して、λ＞0が存在して、
2Mπ/λ＜ε かつ ｜f(x)－f(x＋π/λ)｜＜ε/(c－b)
が成り立ちます。従って
limλ→∞｜I(λ)｜＝0
が示されました。
＜フーリエの積分定理＞
区分的に滑らかな関数f(t)に対して
F(ω)＝∫[－∞、∞]f(t)e－iωtdt
が存在し、
1/2π・∫[－∞、∞] F(ω) e－iωtdω＝1/2・[f(t＋0)＋f(t－0)]
が成り立つ。
証明) ディリクレの積分定理より、区分的に滑らかな関数f(x)に関して
Limλ→∞∫[－a,－a] f(τ)sin(λτ)／τ dτ＝π/2・[f(+0)＋f(－0)]
が成り立ちます。いま、f(τ)をf(τ+t)と置き換え、a→∞とすると
Limλ→∞∫[－∞,－∞] f(τ+ｔ)sin(λτ)／τ dτ＝π/2・[f(t+0)＋f(t－0)]
t’＝τ+ｔと変数変換すると
左辺＝Limλ→∞∫[－∞,－∞] f(t’)sin(λ(t’－t))／(t’－t) dt’
となります。
∫[0,λ] cosω (t’－t)dω＝[sin(ω(t’－t))／(t’－t)]ω＝0、λ＝sin(λ(t’－t))／(t’－t)
ですから、これを代入すると
左辺＝Limλ→∞∫[－∞,－∞] f(t’) [∫[0,λ] cosω (t’－t)dω] dt’
となる。ここで
cosω (t’－t)＝1/2(eiω (t’－t)＋e －iω (t’－t))
です。ω’＝－ωと置くと
∫[0,∞] eiω (t’－t) dω＝－∫[0,－∞] e－iω’ (t’－t) dω’＝ ∫[－∞,0] e－iω (t’－t) dω
となります。
左辺＝1/2∫[－∞,－∞] f(t’) [∫[0,∞] eiω (t’－t)dω＋∫[－∞,0] e－iω (t’－t)dω] dt’
＝1/2∫[－∞,－∞] f(t’) [∫[－∞,∞] e－iω (t’－t)dω] dt’
＝1/2∫[－∞,－∞] [∫[－∞,∞] f(t’) e－iωt’ dt’ ] eiωt dω
が得られます。よって
F(ω)＝∫[－∞,∞] f(t) e－iωt dt
とおくと、
1/2π・∫[－∞,－∞] F(ω)eiωt dω ＝1/2・[f(t+0)＋f(t－0)]
が示されました。
ディリクレ積分
∫[0,∞] sin(λx) /x dx＝π/2 （λ＞0） ・・・（2）
は収束しますが、
∫[0,∞] ｜sin(x) /x｜dx＝Σk=1～∞∫[(k－1)π、kπ] ｜sin(x)｜/x dx
≧Σk=1～∞∫[(k－1)π、kπ] ｜sin(x)｜/kπ dx
＝1/π・Σk=1～∞1/k∫[0、π] sin(x)dx
＝2/π・Σk=1～∞1/k ＝∞
によって絶対収束しません。
命題1
∫[0、∞] e－axsin(x) /x dx＝π/2－tan－1(a) a＞0
が成り立つ。
部分積分をすると、
I(a)＝∫[0、∞] e－axsin(x) dx＝－[e－axcos(x)]x＝0～∞＋∫[0、∞] (－a)e－axcos(x) dx＝
＝1－a｛[e－axsin(x)] x＝0～∞－(－a)∫[0、∞] e－axsin(x) dx｝
＝1－a2I(a)
I(a)＝1/(1＋a2)
となります。
∫[∞、a’] I(a)da＝∫[∞、a’]∫[0、∞] e－axsin(x) dx da
＝∫[0、∞] [∫[∞、a’] e－ax da] e－ax da sin(x) dx
ここで
∫[∞、a’] e－ax da＝－1/x・[e－ax]a＝∞～a’＝ －1/x・e－a’x
であるから、
∫[0、a’] I(a)da＝－∫[0、∞] e－a’x sin(x)/x dx
一方、
∫[∞、a’] I(a)da＝∫[∞、a’] 1/(1＋a2)da
a=tanθ-とおくと、1/(1+tan2θ)=cos2θ、da=1/ cos2θdθ
a：∞→a’、 θ：π/2→tan－1(a’) より
∫[∞、a’] I(a)da＝∫[π/2、tan－1(a’)] 1da＝tan－1(a’)－π/2＝－∫[0、∞] e－a’x sin(x)/x dx
である。従って
∫[0、∞] e－ax sin(x)/x dx＝π/2－tan－1(a)
が示された。
上式でa=0のとき
I(0)＝∫[0,∞] sin(x) /x dx＝π/2
が成り立ちます。上式は複素積分で示すこともできます。