[Ⅷ] Newmanの解析定理の証明
（1）g(0)－gT(0)＝1/2πi・∫C [g(z)－gT(z)]ezT(1＋z2/R2)／z dz を示します。
コ－シ－の積分公式より、領域Dで正則な複素関数f(z)のD内の閉曲線C上の積分に関して、
閉曲線Cで囲まれた領域の点αにおいて
- f(α)＝1/2πi・∫C f(z)／(z－α) dz
が成り立つ。閉曲線Cの半径R＞0として、
- f(z)＝[g(z)－gT(z)]ezT(1＋z2/R2)
を考えると、f(z)は以下で定義される領域Dで正則であることが分かります。
任意の閉曲線C上のgT(z)の積分は、∫C e－ztdz＝0より
- ∫C gT(z)dz＝∫C (∫[0,T]f(t)e－ztdt)dz＝∫[0,T] f(t) (∫C e－ztdz)dt＝0
です。モレラの定理から、gT(z)は任意の閉曲線C内で正則です。解析定理の前提より、g(z)はRe(z)≧0で正則なので、Re(z)＝0上の任意の点z＝it（－∞≦t≦∞）でテ－ラ－展開でき、その収束円内のzでも正則です。従って、十分大きなR＞0と十分小さなδ＞0において、「｜z｜≦R かつ－δ≦Re(z)」となる領域Dの境界線を閉曲線Cとすると、閉曲線Cの内部領域Dでg(z)とgT(z)は正則です。ezT(1＋z2/R2)も正則なので、f(z)は正則関数となり、
コ－シ－の積分公式を適用できます。いまz＝0で
- f(0)＝g(0)－gT(0)
です。α＝0として、コ－シ－の積分公式を適用すると
- f(0)＝g(0)－gT(0)＝1/2πi・∫C [g(z)－gT(z)]ezT(1＋z2/R2)／z dz
が成り立ちます。
（2）A＝｜g(0)－gT(0)｜＝｜1/2πi・∫C [g(z)－gT(z)]ezT(1＋z2/R2)／z dz｜
≦A+＋A－≦A+＋A－1＋A－2 → 2B/R（T→∞）→ 0 （R→∞）
を示します。そのために、積分路を
- C＝C+ (Re(z)＞0)＋C－(Re(z)＜0)
に分け、
A+＝｜1/2πi・∫C+ [g(z)－gT(z)]ezT(1＋z2/R2)／z dz｜
A－＝｜1/2πi・∫C－[g(z)－gT(z)] ezT(1＋z2/R2)／z dz｜≦ A－1＋A－2
とします。ここで
A－1＝｜1/2πi・∫C－’gT(z)ezT(1＋z2/R2)／z dz｜
A－2＝｜1/2πi・∫C－g(z)ezT(1＋z2/R2)／z dz｜
とします。これから
A≦A+＋A－≦A+＋A－1＋A－2 → 2B/R（T→∞）→ 0 （R→∞）
を示します。
（3）A+≦B/R、Re(z)＞0 を示します。
z＝Reiθとおいて積分変数をzからθに変換すると、dz＝i Reiθdθ
A+≦1/2π｜∫C＋｜g(z)－gT(z)｜eRe(z)T [1＋z2/R2]／z dz｜
非積分関数
[1＋z2/R2]／z＝[1＋R2e2iθ/R2]/Reiθ＝2[R(eiθ＋e－iθ)/2]/R2＝2Re(z) /R2
より
A+≦1/2π∫C＋｜g(z)－gT(z)｜eRe(z)T 2Re(z) /R2｜dz｜
いま、｜f(t)｜≦B（有界）なので
｜g(z)－gT(z)｜＝｜∫[T，∞] f(t)exp[－zt] dt｜≦B｜∫[T，∞] exp[－Re(z)t] dt｜
＝－B/ Re(z)[ exp[－Re(z)t]]t＝T,∞＝B/ Re(z)・e－Re(z)T
です。従って、
A+≦1/2π∫C＋B/ Re(z)・e－Re(z)T・eRe(z)T 2Re(z) /R2｜dz｜＝(B/πR2) ∫C＋｜dz｜
となります。∫C＋｜dz｜＝πRより
A+≦B/R
が得られます。
（4）A－1＝｜1/2πi・∫C－gT(z)ezT(1＋z2/R2)／z dz｜≦B/R を示します。
Re(z)＜0より、C- ’の積分経路を用いる。｜Re(z)｜＝－Re(z)に注意して
｜gT(z)｜＝｜∫[0，T] f(t)e－zt dt｜≦B∫[0，T] e－Re(z)t dt＝B/(－Re(z))[e－Re(z)t]t=0,T
＝B/(－Re(z))[e－Re(z)T－1]≦B/(－Re(z))e－Re(z)T
A－1＝｜1/2πi・∫C－’gT(z)ezT(1＋z2/R2)／z dz｜
≦1/2π・∫C－’｜gT(z)｜eRe(z)T｜(1＋z2/R2)／z｜｜dz｜
≦1/2π・[B/(－Re(z))e－Re(z)T] eRe(z)T[2Re(z) /R2]・∫C－’｜dz｜
＝1/2π・B/(－Re(z)) [2｜Re(z)｜/R2]・πR＝B/R
（5）A－2＝｜1/2πi・∫C－g(z)ezT(1＋z2/R2)／z dz｜→ 0 as T→∞ を示す。
有界閉集合C－上のTを含まない複素関数の絶対値には最大値があり、
｜g(z) (1＋z2/R2)/z｜≦M
なる正数Mが存在します。
A－2≦M/2π・｜∫C－ezT dz｜≦M/2π・∫C－eRe(z)T｜dz｜
となる。C－上の積分路を弧AB上と直線BC上の2つに分けて、実行します。
1）弧AB上：z＝R eiθ (π/2≦θ≦λ)、cos(λ)＝－δ/R ｜dz｜＝Rdθ
2）直線BC上：z＝－δ＋it (0≦t≦√(R2－δ2)) ｜dz｜＝dt
実軸に対する対称性から、積分経路をIm(z)≧0に限定して、積分値を2倍します。
A－2≦2・M/2π・[∫AB eRe(z)T｜dz｜＋∫BC eRe(z)T｜dz｜]
＝M/π・[∫[(π/2≦θ≦λ] eRcos(θ)T Rdθ －∫[0≦t≦√(R2－δ2)] e－δT dt ]
t=cos(θ)とおくと、dt＝－sin(θ)dθ＝－√(1－t2) dθより、t：0→cos(λ)＝－δ/R
＝M/π・[－∫[(0≦t≦－δ/R] eRTt R／√(1－t2) dt －√(R2－δ2)・e－δT ]
≦M/π・[－∫[(0≦t≦－δ/R] eRTt R／√(1－(δ/R)2) dt －√(R2－δ2)・e－δT ]
＝M/π・[－R2／√(R2－δ2)・∫[(0≦t≦－δ/R] eRTt dt －√(R2－δ2)・e－δT ]
ここで
∫[(0≦t≦－δ/R] eRTt dt＝1/RT・[eRTt]t＝0, －δ/R＝1/RT・[e－Tδ－1]
ですから、δ＞0より、
A－2≦M/π・[R2／√(R2－δ2)・1/RT・[1－e－Tδ]－√(R2－δ2)・e－δT ] → 0 as T→∞
が得られます。
（3）～（5）より、
｜g(0)－gT(0)｜＝A≦A+＋A－≦2B/R → 0 as T→∞, R→∞
が成り立ちます。よって
lim[T→∞]gT(0)＝g(0)
が存在することが証明されました。
＜コ－シ－の積分公式＞
領域Dで正則な複素関数f(z)のD内の閉曲線C上の積分に関して、Cで囲まれた領域の点z＝αにおいて
- f(α)＝1/2πi・∫C f(z)／(z－α) dz
が成り立つ。Cの向きは反時計回りを正とする。
証明）z＝αの近傍で、正則関数f(z)を
- f(z)＝f(α＋z－α)＝f(α)＋f’(α) (z－α)＋1/2・f’’(α) (z－α)2＋・・・
と展開すると、正則関数1，z、z2、z3、・・は閉曲線C内に極をもたないので、コーシ－の積分定理よりC上の積分でゼロになります。
∫C f(z)／(z－α) dz＝∫C[f(α)＋f’(α) (z－α)＋1/2・f’’(α) (z－α)2＋・]／(z－α) dz
＝f(α)・∫C 1/(z－α) dz ＋f’(α)∫C dz＋1/2・f’’(α) ∫C (z－α) dz＋・・・
＝f(α)・∫C 1/(z－α) dz
となります。z＝α+eiθとおくとdz＝ieiθdθ、θ＝0～2πより
∫C 1/(z－α) dz＝∫[0≦θ≦2π]i eiθ/eiθdθ＝2πi
従って
∫C f(z)／(z－α) dz＝2πi f(α)
となります。
＜モレラの定理＞～コ－シ－の積分定理の逆
閉曲線C上の連続関数f(z)の積分に関して、∫C f(z)dz＝0 ならば、f(z)は閉曲線C内で正則である。
証明）z0からzまでの積分経路をCとします。
F(z)＝∫C＝[z0,z] f(z)dz
zからz＋Δzまでの経路Lを、
- ξ(t)＝z＋Δz・t (0≦t≦1)
で定義します。
- dz＝ξ’(t)dt＝Δzdt
が成り立ち、
F(z＋Δz)＝∫C+L f(z)dz
と書けます。以下にF(z)の導関数F’(z)が存在し、F’(z)＝f(z)となることを示します。
｜[F(z＋Δz)－F(z)]/ Δz－f(z)｜＝｜[∫C+L f(z)dz－∫C f(z)dz] /Δz－f(z)｜
＝｜(1/Δz)∫[z,z＋Δz] f(z)dz－f(z)｜＝｜(1/Δz)∫[0,1] f(ξ(t)) Δzdt－f(z)｜
＝｜∫[0,1] f(ξ(t)) dt－f(z)｜
≦∫[0,1]｜f(ξ(t))－f(z)｜dt ≦∫[0,1]εdt＝ε
ここでf(ξ)は連続なので、任意のε＞0に対して、｜f(ξ)－f(z)｜＜ε を満たす、｜ξ－z｜＜ΔzなるΔz＞0が存在します。ε→0とΔz→0は対応しています。
Iim[Δz→0]｜[F(z＋Δz)－F(z)]/ Δz－f(z)｜≦Iim[Δz→0]ε(Δz)→0
よって、F(z)の導関数F’(z)が存在し、F’(z)＝f(z)となります。F(z)の導関数が存在するから、F(z)は正則です。グルサの定理より、F’(z)も正則になります。F’(z)＝f(z)なので、f(z)も正則になります。従って、閉曲線Cに対して、∫C f(z)dz＝0 ならば、f(z)はC内で正則であることが示されました。