[Ⅶ] 素数定理　Lim _[x→∞] π(x) logx／x＝1　の証明

（1）Lim_[x→∞]π(x)log(x)/x≧1　を示します。

チェビシェフのシータ関数には

• θ(x)＝Σ_[p≦x] log(p)≦{Σ_[p≦x]1} log(x)＝π(x) logx

なる性質があります。x＞0について、[Ⅵ]より

• π(x) logx／x ≧ θ(x)／x　→1　as　x→∞

よって、Lim_[x→∞]π(x)log(x)/x≧1　となります。

（2）Lim_[x→∞] π(x) log(x)/x≦1　を示します。

任意のε＞0に対して、十分大きいxをとれば、ε・log(x)を大きくとることができるから、

　log(x)－ε・log(x)≦log(p)≦log(x)　→　0＜x^1－ε≦p≦x　

なる素数pが存在します。

θ(x)＝Σ_[p≦x] log(p) ≧ Σ[x^1－ε＜p≦x] log(p) ≧Σ[x^1－ε＜p≦x] log(x^1－ε)

　 ＝(1－ε)log(x)・Σ[x^1－ε＜p≦x]1＝(1－ε)log(x)・(π(x)－π(x^1－ε))

よって、

   θ(x) ≧(1－ε)log(x)・(π(x)－π(x^1－ε))

   θ(x)／x (1－ε) ≧π(x) log(x)/x－π(x^1－ε) log(x)/x

すなわち

  π(x) log(x)/x ≦ 1/(1－ε)・θ(x)/x＋π(x^1－ε) log(x)/x

                     ≦1/(1－ε)・θ(x)/x＋x^1－ε・log(x)/x

となる。ここで

    x^1－ε・log(x)/x＝log(x)/x^ε＝1/ε・log(x^ε)/x^ε

より、任意のε＞0に対して

  π(x) log(x)/x≦1/(1－ε)・θ(x)/x＋1/ε・log(x^ε)/x^ε　→　1/(1－ε)　as x→∞

が成り立つ。極限をとると

    Lim_[x→∞] π(x) log(x)/x≦1

となる。

（3）（1）と（2）から、素数定理

　　Lim_[x→∞] π(x) log(x)/x＝1

が証明されました。

 

[定理A]　Newmanの解析定理

t≧0で有界かつ可積分な関数f(t)に対して、

g(z)＝∫_[0，∞] f(t)exp[－zt] dt　Re(z)＞0

がRe(z)≧0で正則であれば、

　g(0)＝∫_[0，∞] f(t) dt

が存在する。つまり正則関数

　g_T(z)＝∫_[0，T] f(t)exp[－zt] dt

に対して、

lim_[T→∞]g_T(0)＝g(0)

が存在する。