[Ⅶ] 素数定理 Lim [x→∞] π(x) logx/x=1 の証明
(1)Lim[x→∞]π(x)log(x)/x≧1 を示します。
チェビシェフのシータ関数には
- θ(x)=Σ[p≦x] log(p)≦{Σ[p≦x]1} log(x)=π(x) logx
なる性質があります。x>0について、[Ⅵ]より
- π(x) logx/x ≧ θ(x)/x →1 as x→∞
よって、Lim[x→∞]π(x)log(x)/x≧1 となります。
(2)Lim[x→∞] π(x) log(x)/x≦1 を示します。
任意のε>0に対して、十分大きいxをとれば、ε・log(x)を大きくとることができるから、
log(x)-ε・log(x)≦log(p)≦log(x) → 0<x1-ε≦p≦x
なる素数pが存在します。
θ(x)=Σ[p≦x] log(p) ≧ Σ[x1-ε<p≦x] log(p) ≧Σ[x1-ε<p≦x] log(x1-ε)
=(1-ε)log(x)・Σ[x1-ε<p≦x]1=(1-ε)log(x)・(π(x)-π(x1-ε))
よって、
θ(x) ≧(1-ε)log(x)・(π(x)-π(x1-ε))
θ(x)/x (1-ε) ≧π(x) log(x)/x-π(x1-ε) log(x)/x
すなわち
π(x) log(x)/x ≦ 1/(1-ε)・θ(x)/x+π(x1-ε) log(x)/x
≦1/(1-ε)・θ(x)/x+x1-ε・log(x)/x
となる。ここで
x1-ε・log(x)/x=log(x)/xε=1/ε・log(xε)/xε
より、任意のε>0に対して
π(x) log(x)/x≦1/(1-ε)・θ(x)/x+1/ε・log(xε)/xε → 1/(1-ε) as x→∞
が成り立つ。極限をとると
Lim[x→∞] π(x) log(x)/x≦1
となる。
(3)(1)と(2)から、素数定理
Lim[x→∞] π(x) log(x)/x=1
が証明されました。
[定理A] Newmanの解析定理
t≧0で有界かつ可積分な関数f(t)に対して、
g(z)=∫[0,∞] f(t)exp[-zt] dt Re(z)>0
がRe(z)≧0で正則であれば、
g(0)=∫[0,∞] f(t) dt
が存在する。つまり正則関数
gT(z)=∫[0,T] f(t)exp[-zt] dt
に対して、
lim[T→∞]gT(0)=g(0)
が存在する。