[12]素数定理の証明手順のまとめ

[０]関数の定義　P；素数の集合

・リーマンのゼ－タ－関数：ζ(s)＝Σ_{[n＝1～∞]} 1/n^s、Re(s)＞1

　（nに関する無限級数）

・ファイ関数：Φ(s)＝Σ_[p∊P] log(p)／p^s、Re(s)＞1

　（すべての素数に関する和をとる）

・チェビシェフのシータ関数：θ(x)＝Σ_[p≦x] log(p)

  （X以下の素数pに関する和をとる）

・素数の個数関数：π(x)＝Σ_[p≦x]1

[Ⅰ]命題1　Re(s)＞1、ζ(s)＝Π_[p∊P] [1／(1－1/p^s)]　オイラ－積表示の存在

（1）Re(s)＞1でζ(s)のディリクレ級数表示は収束する。

（2）ζ(s)のディリクレ級数表示はオイラ－積表示に一致する。

（3）Re(s)＞1でζ(s)のオイラ－積表示は収束する。

（4）ζ(s)は、s＞0（s≠1）に拡張することができる。

[Ⅱ] 命題2　ζ(s)－1/(ｓ－1)はRe(s)＞0で正則である。

（1）∫_[1,∞]1/x^s dx＝1/(s‐1)　for　s＞1

（2）s∫_[n,x] 1/t^s+1 dt＝1/n^s－1/x^s

（3）｜t^s+1｜＝t^Re(s)+1

（4）ζ(s)－1/(ｓ－1)≦｜s｜ζ( Re(s)+1) for　s＞1　

[Ⅲ] 命題3　Φ(s)－1/(ｓ－1)はRe(s)≧1で正則である。

（1）ζ’(s)/ζ(s) ＋1/(s－1)　はRe(s)≧1で正則である。

（2）Φ(s)‐1/(s‐1)＝‐[ζ′(s)／ζ(s)＋1/(s‐1)]－Σ[p] log(p)／p^s(p^s‐1) 　を示す。

（3）右辺2項目Σ[p] log(p)／p^s(p^s‐1)はRe(s)＞1/2で正則である。

（4）Re(s)＝1でζ(s)＝0なる零点が存在しない。

[Ⅳ] 命題4　θ(x)＝Ｏ(x)　i.e.　∃ｋ＞0　｜θ(x)｜≦ｋx

（1）2nlog2≧θ(2n)－θ(n)

（2）2^ｍ+1・log2＞θ(2^m)

  (3) θ(x) ≦4log2・x

[Ⅴ] 命題5　∫_[1，∞] [θ(x)－x]／x² dxは収束する。

・[Ⅲ] 、[Ⅳ]、[定理A]を用いて証明する。

（1）Φ(s)＝s∫_[1，∞] θ(x)／x^ｓ+1dx、Re(s)＞1

（2）f(t)＝θ(e^t)e^－t－1　（t≧0）は有界、g(z)＝∫_[0，∞] f(t)exp[－zt] dtが存在する

（3）g(z)＝Φ(z+1)／(z+1)－1/z　　Re(z)＞0

（4）g(z)はRe(z)≧0で正則

（5）g(0)＝∫_[0，∞] f(t) dt＝∫_[1，∞] [θ(x)－x]／x² dx　が収束する。

[Ⅵ] 命題6　θ(x)～x　i.e.　lim_[x→∞] θ(x)/x＝1

・任意のε＞0、∃x＞0　1－ε＜θ(x)/x＜1＋εを示す。

・背理法を用いて矛盾を示す。任意の正数ｘに対して、∃ε＞0

（1）1＋ε≦θ(x)/x　は矛盾を生じるので、θ(x)/x＜1＋ε　by [Ⅴ]

（2）θ(x)/x≦1－ε　は矛盾を生じるので、1－ε＜θ(x)/x 　by [Ⅴ]

[Ⅶ] 素数定理　Lim _[x→∞] π(x) logx／x＝1

（1）1←θ(x)/x≦π(x)log(x)/x　by [Ⅵ]

（2）π(x)log(x)/x≦1/(1－ε)・θ(x)/x＋log(x)/x^ε→1/(1－ε)　→1

[定理A]　Newmanの解析定理

t≧0で有界かつ可積分な関数f(t)に対して、

g(z)＝∫_[0，∞] f(t)exp[－zt] dt　Re(z)＞0

がRe(z)≧0で正則であれば、

　g(0)＝∫_[0，∞] f(t) dt

が存在する。つまり正則関数

　g_T(z)＝∫_[0，T] f(t)exp[－zt] dt

に対して、

　lim_[T→∞]g_T(0)＝g(0)

が存在する。

[定理A]　Newmanの解析定理の証明手順

（1）g(0)－g_T(0)＝1/2πi・∫_C [g(z)－g_T(z)]e^zT(1＋z²/R²)／z dz

（2）A＝｜g(0)－g_T(0)｜＝｜1/2πi・∫_C [g(z)－g_T(z)]e^zT(1＋z²/R²)／z dz｜

　　　≦A₊＋A_－≦A₊＋A_－1＋A_－2 → 2B/R（T→∞）→ 0 （R→∞）

（3）A₊≦B/R、Re(z)＞0　

（4）A_－1＝｜1/2πi・∫_C－g_T(z)e^zT(1＋z²/R²)／z dz｜≦B/R　

（5）A_－2＝｜1/2πi・∫_C－g(z)e^zT(1＋z²/R²)／z dz｜→ 0