16世紀のイタリアでは、負の数は認められていませんでした。まして虚数は全く無意味な数だと考えられていました。しかし三次方程式の実数解を得るには、虚数を認めなければなりませんでした。

簡単のために三次方程式

• x³－px＝0　p>0

について考えます。これは元の方程式においてq＝0でpが－pに置き換わった方程式です。

• x(x－√p) (x＋√p)＝0

より、3つの実数解をもつことが分かります。

三次方程式の判別式は、q=0のとき

• D₃＝(q/2)²＋(－p/3)³＝－(p/3)³＜0

となります。これを用いると、虚数をi＝√-1と書くと、

• u³＝－q/2＋√D₃＝i√(p/3)³
• v³＝－q/2－√D₃＝－i√(p/3)³

となります。uとvは虚数になってしまいます。しかし虚数を認めれば

• x₀＝u＋v＝0
• x₁＝ωu+ω²v＝(ω－ω²)u＝(2ω＋1)u＝√3i・i√(p/3)＝－√p
• x₂＝ω²u+ωv＝(ω²－ω)u＝－(2ω＋1)u＝－√3i・i√(p/3) ＝√p

となり、3つの実数解を再現することができます。

 

一般にモニック三次方程式（三次の係数が1）

・           f(x)＝x³＋px＋q＝0

の判別式は、三つの解を用いて

• D₃＝(q/2)²＋(p/3)³＝－1／(4・27)・(α－β)²(β－γ) ² (γ－α) ²・・・（1）

と表されます。

• D₃＝1/4・（極大値）・（極小値）＝1/4・f(－√-p/3)・f(√-p/3) 　（2）

になっています。

• D₃＜0の場合、3つの実数解が存在します（u、vは虚数）　

関数f(x)が極大値から極小値に変化するときにｘ軸と交わるので、実数解が生じます。

• D₃＞0の場合、q<0のときには1つの実数解と2つの虚数解
• D₃＝0の場合、q<0のときには2つの実数解（一方は重根）　　・・・（3）

が存在します。

＜(3)式の証明＞

D₃＝0の場合、

• u³＝－q/2＋√D₃＝－q/2、　v³＝－q/2－√D₃＝－q/2
• u＝v＝³√(－q/2)

であるから、q<0のとき

• x₀＝u＋v＝³√(－4q)
• x₁＝ωu+ω²v＝(ω＋ω²)u＝－u＝－³√(－q/2)
• x₂＝ω²u+ωv＝(ω²＋ω)u＝－u＝－³√(－q/2)（重根）

＜(2)式の証明＞

• f’(x)＝3x²＋p＝3(x＋√-p/3) (x－√-p/3)＝0
• 極大値＝f(－√-p/3)＝(－√-p/3)³＋p(－√-p/3)+q＝－2p/3√-p/3+q
• 極小値＝f(√-p/3)＝(√-p/3)³＋p(√-p/3)+q＝2p/3√-p/3+q
• D₃＝1/4 (－2p/3√-p/3+q)( 2p/3√-p/3+q)＝1/4（q²－(2p/3√-p/3)²）＝(q/2)²＋(p/3)³

＜(1)式の証明＞

• x³＋px＋q＝(x－α) (x－β) (x－γ)＝x³＋ (α+β+γ)x²+(αβ+βγ+γα)x－αβγ

より、解と係数の関係

• α+β+γ＝0、αβ+βγ+γα＝p、αβγ＝－q
• 　β+γ＝－α、βγ＝p－α(β+γ)＝p+α²

が成り立ちます。

• (α－β)(γ－α)＝－α²+(β+γ)α－βγ＝－α²+(－α)α－(p+α²)＝－ (3α²+p)
• (β－γ)(α－β)＝－ (3β²+p)
• (γ－α)(β－γ)＝－ (3γ²+p)

となります。これらの積をとると

• D₃＝－1／(4・27) (α－β)²(β－γ) ² (γ－α) ²
•     ＝1/4・(α²+p/3)・(β²+p/3)・(γ²+p/3)
•     ＝1/4・｛α²β²γ²+(α²β²+β²γ²+γ²α²)p/3+(α²+β²+γ²)(p/3)²+(p/3)³｝

ここで

• α²+β²+γ²＝(α+β+γ)²－2(αβ+βγ+γα)＝－2p
• α²β²+β²γ²+γ²α²＝(αβ+βγ+γα)²－2αβγ(α+β+γ)＝p²

ですから、

• D₃＝1/4・｛q²+(p²)(p/3) +(－2p) (p/3)²+(p/3)³｝
• 　＝1/4｛q²+(9－6+1)(p/3)³｝＝(q/2)²＋(p/3)³

が成り立ちます。