＜ルジャンドルの2倍公式の証明＞
Γ(2s)＝22s-1/π1/2・Γ(s) Γ(s+1/2)
を証明する。
今、B(x,y)＝Γ(x)Γ(y)/Γ(x＋y) より
B(x,1/2)＝Γ(x)Γ(1/2)/Γ(x+1/2)
B(x,x)＝Γ(x)2 /Γ(2x)
が成り立つ。先ほど証明された式
B(x,1/2)＝22x－1B(x,x)
に代入すると、
Γ(x)Γ(1/2)/Γ(x+1/2)＝22x－1Γ(x)2 /Γ(2x)
を得る。Γ(1/2)＝π1/2より
Γ(2x)＝22x－1π－1/2Γ(x)Γ(x+1/2)
が成り立つことが示された。
Γ(n)=(n-1)! 、Γ(1/2)=π－1/2なので、ｘ＝4のとき
Γ(8)＝22*4－1π－1/2Γ(4)Γ(4+1/2)＝23Γ(4)・24Γ(4+1/2)π－1/2
24Γ(4+1/2)π－1/2＝24・7/2 Γ(7/2)π－1/2＝24・7/2・5/2・3/2・1/2 Γ(1/2)π－1/2
＝7・5・3・1
23Γ(4)＝23（3・2・1）＝6・4・2
Γ(8)＝7！＝7・5・3・1・6・4・2
を表しています。
＜ガンマ関数の相反公式＞
Γ(x)Γ(1－x)＝π/sin(πx)
を証明します。その前にこの公式の直感的な説明をします。
Γ(x)はｘ＝0，-1，-2，・・・でのみ1位の極をもちます。Γ(1-x)はｘ＝1，2，3，・・・でのみ1位の極をもちます。
f(x)=1/Γ(x)Γ(1－x)は全ての整数で1位の零点をもちます。ｘをｘ+1にすると
Γ(ｘ+1)Γ(1-（ｘ+1））＝ｘΓ(ｘ)Γ(-ｘ）＝-ｘΓ(ｘ)Γ(1-ｘ）
ので、f(x+2)＝－f(x+1)＝f(x) となり、f(x)は周期2の関数であることが分かります。ｘ＝1/2で最大値
f(1/2)＝1/Γ(1/2)Γ(1－1/2)＝1/π
をとります。よってf(x)＝sin(πx)/πと予想できます。
証明に入ります。先ほどもとめたベータ関数の性質は
（4）：B(x,1－x)＝∫[0，∞] ux－1/(1＋u) du
（5）：B(x,1－x)＝Γ(x)Γ(1－x)
ですから、
∫[0，∞] xa－1/(1＋x) dx＝π/sin(πa) 0＜a＜1
を示せばよいことが分かります。
D積分閉路を使って
f(z)＝za－1/(1＋z)
の複素積分を行います。D積分閉路は
D＝C1＋C2(ε)＋C3＋CR
からなります。
ε→0、R→∞で
∫C2(ε)f(z)dz→0、∫CR f(z)dz→0
となります。0＜a＜1より、－1＜a－1＜0、に注意すると
－ε+1≦εeiθ+1≦ε+1より、1/｜(εeiθ＋1)｜≦1/(1－ε)
なので、z＝εeiθ、dz＝iεeiθdθ、0＜a＜1、より
｜∫C2(ε)f(z)dz｜≦∫[0、2π]｜(εeiθ) a－1｜/｜εeiθ＋1｜｜iεeiθ｜dθ
≦εεa－1/(1－ε) 2π＝2πεa/(1－ε) → 0 as ε→0
同様に、－1＜a－1＜0、より
｜∫CRf(z)dz｜≦∫[0、2π]｜(Reiθ) a－1｜/｜Reiθ＋1｜｜iReiθ｜dθ
≦2πR・Ra－1/R＝2πRa－1 → 0 as R→∞
となります。
z a－1はz＝0で特異点を持ちますが、z＝0は経路D内には含まれません。
D積分閉路内の極は、z＝－1だけです。f(z)のz＝－1での留数は
Res[f,－1]＝lim[x→－1] (z＋1) z a－1/(z＋1)＝(eiπ) a－1＝eiπa e－iπ＝－eiπa
∫D f(z)dz＝2πi Res[f,－1]＝2πi (－eiπa)
となります。
C3上での偏角は0だからz＝xe0代入して、ε→0、R→∞で
∫C3 f(z)dz＝∫[ε、R] xa－1/(1＋x) dx → I＝∫[0、∞] xa－1/(1＋x) dx
C1上での偏角は2πなので、z＝xe2πi代入して、ε→0、R→∞で
za－1＝(xe2πi) a－1＝x a－1e2πiae－2πi＝x a－1e2πia
∫C1 f(z)dz＝∫[R、ε] e2πia xa－1/(1＋x) dx →∫[0、∞] xa－1/(1＋x) dx
となります。従って
2πi (－eiπa)＝I＋0＋I＋0＝(1－e2πia)I
これをIについて解くと
I＝2πi (－eiπa)/ (1－e2πia)＝2πi (－eiπa)／(－eiπa) (eiπa－e－iπa)
＝π/sin(πa)
が得られます。