＜リ－マン関数等式からオイラ－関数等式の導出＞

関数等式には、非対称型のオイラ－による関数等式

　ζ(1－s)=cos(sπ/2) Γ(s)ζ(s)／2^s－1π^s・・・・（1）

と対称型のリ－マンによる関数等式

　π^－s/2Γ(s/2)ζ(s)＝π^－(1－s)/2Γ((1－s)/2)ζ(1－s) ・・・・（2）

がありました。これまでオイラ－による関数等式からリ－マンによる関数等式を導出しました。今度は逆にリ－マンによる関数等式からオイラ－による関数等式を導出します。

(2)の両辺に(－s)Γ(－s/2)を掛けると、

　π^－s/2(－s)Γ(－s/2)Γ(s/2)ζ(s)＝π^－(1－s)/2(－s)Γ(－s/2)Γ((1－s)/2)ζ(1－s)

左辺の係数は

　π^－s/2 2(－s/2)Γ(－s/2)Γ(s/2)＝2π^－s/2Γ(1－s/2)Γ(s/2)＝π^－s/2 2π/ sin(πs/2)

となります。ここで、ガンマ関数の相反公式：Γ(s/2)Γ(1－s/2)＝π/sin(πs/2)を用いました。ルジャンドルの2倍公式

　Γ(2s)＝2^2s－1/π^1/2・Γ(s) Γ(s+1/2)

でs→－s/2に置き換えた

　Γ(－s)2^s+1π^1/2＝Γ(－s/2) Γ((1－s)/2)

を用いると、右辺の係数は

　π^－(1－s)/2 (－s)Γ(－s/2)Γ((1－s)/2)＝π^－(1－s)/2 (－s)Γ(－s) 2^s+1π^1/2

　　＝2^s+1π^s/2Γ(1－s)

となります。従って、左辺＝右辺は

　π^－s/22π/ sin(πs/2)ζ(s)＝2^s+1π^s/2Γ(1－s)ζ(1－s)

となります。

　ζ(s)＝2^sπ^s－1Γ(1－s)ζ(1－s) sin(πs/2) ・・・・（*）

が得られます。s→1－sに置き換えると

　sin(π(1－s) /2)＝sin(π/2)cos(－πs/2)＝cos(πs/2)

より

　ζ(1－s)＝Γ(s)ζ(s) cos(πs/2)／2^s－1π^s・・・・（1）

が得られます。

＜ゼ－タ関数の自明な零点はs＝－2k＞

　ζ(s)＝2^sπ^s－1Γ(1－s)ζ(1－s) sin(πs/2) ・・・・（*）

ζ(1－s)は1－s＞1、すなわち、s＜0で定義されています。

　sin(πs/2)＝0　→　s＝－2、－4、－6、・・－2k、・・・

なる負の偶数では

　ζ(－2k)＝0　for　k＝1、2、3・・・

が成り立ちます。これをζ(s) の自明な零点と言います。

また、この公式からζ(0)の値が得られます。

lim_[s→1] (s－1)ζ(s)＝1　→　lim_[s→0] ((1－s)－1)ζ(1－s)＝1

に注意すると

ζ(0)＝lim_[s→0] 2^sπ^s－1Γ(1－s)ζ(1－s) sin(πs/2)

　　　＝－1/2・Γ(1) lim_[s→0]sin(πs/2)/(πs/2)・(1－s－1)ζ(1－s)

　　　＝－1/2

となります。