ゼ－タ関数とガンマ関数とベータ関数は相互に密接な関係があります。ここではベータ関数のいくつかの性質を紹介します。これらはルジャンドルの倍公式やガンマ関数の相反公式を証明するのに役立ちます。
＜ベ－タ関数の諸性質＞
ベ－タ関数は
B(x,y)＝∫[0，1] tx－1(1－t)y－1dt (x>0,y>0)
で定義されます。
（1）B(x,y)＝B(y,x)
t’＝1－tとおくと、
B(x,y)＝－∫[1，0] (1－t’)x－1 t’y－1dt’ ＝B(y,x)
（2）B(x,y)＝2∫[0，π/2] sin2x－1θcos2y－1θdθ
t＝sin2θとおくと、dt＝2sinθcosθdθ
B(x,y)＝∫[0，π/2] (sin2θ)x－1(cos2θ)y－12sinθcosθdθ
＝2∫[0，π/2] sin2x－1θcos2y－1θdθ
（3）B(x,y)＝Γ(x)Γ(y) /Γ(x＋y)
t＝s2とおくと、dt＝2sdsより
Γ(x)＝∫[0，∞] tx－1 e－t dt＝2∫[0，∞] s2x－1 e－ss ds
Γ(x)Γ(y)＝4∫[0，∞] t2x－1 e－tt dt・∫[0，∞] s2y－1 e－ss ds
t＝rcosθ、s＝rsinθとおくと、t2＋s2＝r2、dtds＝rdrdθ
4∫[0，π/2]dθ∫[0，∞] dr (rcosθ)2x－1 (rsinθ)2y－1 e－rr
＝2∫[0，π/2]dθ∫[0，∞] dr cos2x－1θsin2y－1θ・2∫[0，∞] r2(x＋y)－2e－rr rdr
t＝r2とおくと、dt＝2rdrより、r2(x＋y)－2＝t(x＋y)/r2＝t(x＋y)－1
Γ(x)Γ(y)＝B(x,y)・∫[0，∞] t(x＋y)－1e－t dt＝B(x,y)・Γ(x＋y)
が示された。
（4）B(x,y)＝∫[0，∞] ux－1/(1＋u)x＋y du
B(x,y)＝∫[0，1] tx－1(1－t)y－1dt
において、t＝u/(1＋u)とおくと
1－t＝1－u/(1＋u)＝1/(1＋u)
(1＋u)t＝u、u－ut＝t、u＝t/(1－t) →u＝0～∞
du＝[(1－t)+t]/(1－t)2 dt＝1/(1－t)2 dt＝(1＋u) 2 dt
→ dt＝du/(1＋u) 2
であるから
tx－1(1－t)y－1dt＝[u/(1＋u)]x－1(1＋u)－y＋1(1＋u)－2du
＝ux－1(1＋u)－(x＋y) du
B(x,y)＝∫[0，∞] ux－1(1＋u)－(x＋y) du
が示された。
y＝1－xのとき
B(x,1－x)＝∫[0，∞] ux－1(1＋u)－(x＋y) du
＝∫[0，∞] ux－1/(1＋u) du
が成り立つ。
（5）B(x,1－x)＝Γ(x)Γ(1－x)
B(x,y)＝Γ(x)Γ(y)/Γ(x＋y) において
y＝1－xと置くと、Γ(x＋y)＝Γ(1)＝1より
B(x,1－x)＝Γ(x)Γ(1－x)/Γ(1)＝Γ(x)Γ(1－x)
（6）B(x,1/2)＝22x－1B(x,x)
B(x,1/2)＝B(1/2 ,x)＝∫[0，1] t－1/2 (1－t) x－1dt
t＝u2とおくと、t－1/2＝u－1、dt＝2udu
B(x,1/2)＝2∫[0，1] (1－u2)x－1 du
＝∫[0，1] (1－u2)x－1 du－∫[0，－1] (1－u2)x－1 d(－u)
＝∫[0，1] (1－u2)x－1 du＋∫[－1，0] (1－u2)x－1 du
＝∫[－1，1] (1－u2)x－1 du
s＝(1+u)/2とおくと、u＝2s－1、s＝0～1
1－u＝1－2s+1＝2(1－s)
1－u2＝(1－u) (1＋u)＝4(1－s)s
B(x,1/2)＝2∫[0，1] (4(1－s)s)x－1 2ds
＝22x－1∫[0，1] (1－s) x－1sx－1 ds
＝22x－1B(x,x)
が示された。