＜ガンマ関数の解析接続＞

Γ関数は

　Γ(s)＝∫_[0、∞] t^s－1e^－tdt

で定義されています。sを複素数に拡張した場合に、区間[0、∞]での積分は収束するか調べて見ましょう。

s＝x＋iyとして、0＜x₀＜x₁なる任意の実数を用いて、0＜x₀＜x＜x₁とすれば、

　  Γ(s)＝∫_[0、1] t^s－1e^－tdt＋∫_[1、∞] t^s－1e^－tdt

　｜Γ(s)｜≦ ∫_[0、1] ｜t^s－1｜e^－tdt ＋ ∫_[1、∞] ｜t^s－1｜e^－tdt

であり、

　(1/2)^x＜(1/2)^x0　、2^x＜(2)^x1

に注意すると、

∫_[0、1] ｜t^s－1｜e^－tdt＝∫_[0、1] t ^x－1e^－tdt≦∫_[0、1] t ^x0－1e^－tdt≦∫_[0、∞] t ^x0－1e^－tdt＝Γ(x₀)

∫_[1、∞] ｜t^s－1｜e^－tdt＝∫_[1、∞] t ^x－1e^－tdt≦∫_[1、∞] t ^x1－1e^－tdt≦∫_[0、∞] t ^x1－1e^－tdt＝Γ(x₁)

ですから、

｜Γ(s)｜≦Γ(x₀)＋Γ(x₁)

が成り立ちます。従って0＜x₀＜Re(s)＜x₁において、ε→0のとき

　Γ_ε(s)＝∫_[ε、1/ε] t^s－1e^－tdt　→　Γ(s)＝∫_[0、∞] t^s－1e^－tdt　

となり、Γ_ε(s)はΓ(s)に一様収束します。Γ_ε(s)は有限区間での積分だから、sの正則関数です。

一様収束極限であるΓ(s)もx₀＜Re(s)＜x₁における正則関数です。x₀、x₁は任意だから、

Γ(s)はRe(s)＞0におけるsの正則関数になっています。nを任意の自然数とすれば、

　Γ(s)＝Γ(s＋n)／s(s＋1) (s＋2)・・ (s＋n－2) (s＋n－1)

が成り立ちます。Γ(s)はRe(s)＋n＞0における有理型関数で、s＝0,－1,－2,・・・－n+1でを1位の極とする以外は、正則になっています。nは任意なので、Γ(s)は複素数全体で正則な有理型関数で、s＝0,－1,－2,・・・で1位の極をもっています。Γ(1－s)は、s＝0,1,2,・・・で1位の極をもっています。さらに整数でない実数sに対して

　Γ(s)Γ(1－s)＝π/sin(πs)

が成り立ちます。複素関数論の一致の定理より、整数でない複素数に関して、この等式は成り立っています。この等式から、ガンマ関するΓ(s)は零点を持たない有理型関数であることが分かります。よって1/Γ(s)は複素数全体で正則な関数になっています。