<ガンマ関数の解析接続>
Γ関数は
Γ(s)=∫[0、∞] ts-1e-tdt
で定義されています。sを複素数に拡張した場合に、区間[0、∞]での積分は収束するか調べて見ましょう。
s=x+iyとして、0<x0<x1なる任意の実数を用いて、0<x0<x<x1とすれば、
Γ(s)=∫[0、1] ts-1e-tdt+∫[1、∞] ts-1e-tdt
|Γ(s)|≦ ∫[0、1] |ts-1|e-tdt + ∫[1、∞] |ts-1|e-tdt
であり、
(1/2)x<(1/2)x0 、2x<(2)x1
に注意すると、
∫[0、1] |ts-1|e-tdt=∫[0、1] t x-1e-tdt≦∫[0、1] t x0-1e-tdt≦∫[0、∞] t x0-1e-tdt=Γ(x0)
∫[1、∞] |ts-1|e-tdt=∫[1、∞] t x-1e-tdt≦∫[1、∞] t x1-1e-tdt≦∫[0、∞] t x1-1e-tdt=Γ(x1)
ですから、
|Γ(s)|≦Γ(x0)+Γ(x1)
が成り立ちます。従って0<x0<Re(s)<x1において、ε→0のとき
Γε(s)=∫[ε、1/ε] ts-1e-tdt → Γ(s)=∫[0、∞] ts-1e-tdt
となり、Γε(s)はΓ(s)に一様収束します。Γε(s)は有限区間での積分だから、sの正則関数です。
一様収束極限であるΓ(s)もx0<Re(s)<x1における正則関数です。x0、x1は任意だから、
Γ(s)はRe(s)>0におけるsの正則関数になっています。nを任意の自然数とすれば、
Γ(s)=Γ(s+n)/s(s+1) (s+2)・・ (s+n-2) (s+n-1)
が成り立ちます。Γ(s)はRe(s)+n>0における有理型関数で、s=0,-1,-2,・・・-n+1でを1位の極とする以外は、正則になっています。nは任意なので、Γ(s)は複素数全体で正則な有理型関数で、s=0,-1,-2,・・・で1位の極をもっています。Γ(1-s)は、s=0,1,2,・・・で1位の極をもっています。さらに整数でない実数sに対して
Γ(s)Γ(1-s)=π/sin(πs)
が成り立ちます。複素関数論の一致の定理より、整数でない複素数に関して、この等式は成り立っています。この等式から、ガンマ関するΓ(s)は零点を持たない有理型関数であることが分かります。よって1/Γ(s)は複素数全体で正則な関数になっています。