ガンマ関数の2倍公式と相反公式の証明

<ルジャンドルの2倍公式の証明>

 Γ(2s)=22s-11/2・Γ(s) Γ(s+1/2)

を証明する。

今、B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y) より

 B(x,1/2)=Γ(x)Γ(1/2)/Γ(x+1/2)

 B(x,x)=Γ(x)2 /Γ(2x)

が成り立つ。先ほど証明された式

 B(x,1/2)=22x-1B(x,x)

に代入すると、

 Γ(x)Γ(1/2)/Γ(x+1/2)=22x-1Γ(x)2 /Γ(2x)

を得る。Γ(1/2)=π1/2より

 Γ(2x)=22x-1π1/2Γ(x)Γ(x+1/2)

が成り立つことが示された。

Γ(n)=(n-1)! 、Γ(1/2)=π1/2なので、x=4のとき

Γ(8)=22*4-1π1/2Γ(4)Γ(4+1/2)=23Γ(4)・24Γ(4+1/2)π1/2

24Γ(4+1/2)π1/2=24・7/2 Γ(7/2)π1/2=24・7/2・5/2・3/2・1/2 Γ(1/2)π1/2

       =7・5・3・1

23Γ(4)=23(3・2・1)=6・4・2

Γ(8)=7!=7・5・3・1・6・4・2

を表しています。

<ガンマ関数の相反公式>

 Γ(x)Γ(1-x)=π/sin(πx)

を証明します。その前にこの公式の直感的な説明をします。

Γ(x)はx=0,-1,-2,・・・でのみ1位の極をもちます。Γ(1-x)はx=1,2,3,・・・でのみ1位の極をもちます。

f(x)=1/Γ(x)Γ(1-x)は全ての整数で1位の零点をもちます。xをx+1にすると

 Γ(x+1)Γ(1-(x+1))=xΓ(x)Γ(-x)=-xΓ(x)Γ(1-x)

ので、f(x+2)=-f(x+1)=f(x) となり、f(x)は周期2の関数であることが分かります。x=1/2で最大値

 f(1/2)=1/Γ(1/2)Γ(1-1/2)=1/π

をとります。よってf(x)=sin(πx)/πと予想できます。

証明に入ります。先ほどもとめたベータ関数の性質は

(4):B(x,1-x)=∫[0,∞] ux-1/(1+u) du

(5):B(x,1-x)=Γ(x)Γ(1-x)

ですから、

 ∫[0,∞] xa-1/(1+x) dx=π/sin(πa) 0<a<1

を示せばよいことが分かります。

D積分閉路を使って

 f(z)=za-1/(1+z)

の複素積分を行います。D積分閉路は

 D=C1+C2(ε)+C3+CR

からなります。

 

 

 

 

 

ε→0、R→∞で

 ∫C2(ε)f(z)dz→0、∫CR f(z)dz→0

となります。0<a<1より、-1<a-1<0、に注意すると

 -ε+1≦εeiθ+1≦ε+1より、1/|(εeiθ+1)|≦1/(1-ε)

なので、z=εeiθ、dz=iεeiθdθ、0<a<1、より

 |∫C2(ε)f(z)dz|≦∫[0、2π]|(εeiθ) a-1|/|εeiθ+1||iεeiθ|dθ

       ≦εεa-1/(1-ε) 2π=2πεa/(1-ε) → 0 as ε→0

同様に、-1<a-1<0、より

 |∫CRf(z)dz|≦∫[0、2π]|(Reiθ) a-1|/|Reiθ+1||iReiθ|dθ

       ≦2πR・Ra-1/R=2πRa-1 → 0 as R→∞

となります。

z a-1はz=0で特異点を持ちますが、z=0は経路D内には含まれません。

D積分閉路内の極は、z=-1だけです。f(z)のz=-1での留数は

 Res[f,-1]=lim[x→-1] (z+1) z a-1/(z+1)=(eiπ) a-1=eiπa e-iπ=-eiπa

 ∫D f(z)dz=2πi Res[f,-1]=2πi (-eiπa)

となります。

C3上での偏角は0だからz=xe0代入して、ε→0、R→∞で

 ∫C3 f(z)dz=∫[ε、R] xa-1/(1+x) dx → I=∫[0、∞] xa-1/(1+x) dx

C1上での偏角は2πなので、z=xe2πi代入して、ε→0、R→∞で

 za-1=(xe2πi) a-1=x a-1e2πiae-2πi=x a-1e2πia

 ∫C1 f(z)dz=∫[R、ε] e2πia xa-1/(1+x) dx →∫[0、∞] xa-1/(1+x) dx

となります。従って

 2πi (-eiπa)=I+0+I+0=(1-e2πia)I

これをIについて解くと

 I=2πi (-eiπa)/ (1-e2πia)=2πi (-eiπa)/(-eiπa) (eiπa-e-iπa)

  =π/sin(πa)

が得られます。

 

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