[12]素数定理の証明手順のまとめ

[12]素数定理の証明手順のまとめ

[0]関数の定義 P;素数の集合

・リーマンのゼ-タ-関数:ζ(s)=Σ[n=1~∞] 1/ns、Re(s)>1

 (nに関する無限級数)

・ファイ関数:Φ(s)=Σ[p∊P] log(p)/ps、Re(s)>1

 (すべての素数に関する和をとる)

・チェビシェフのシータ関数:θ(x)=Σ[p≦x] log(p)

  (X以下の素数pに関する和をとる)

・素数の個数関数:π(x)=Σ[p≦x]1

[Ⅰ]命題1 Re(s)>1、ζ(s)=Π[p∊P] [1/(1-1/ps)] オイラ-積表示の存在

(1)Re(s)>1でζ(s)のディリクレ級数表示は収束する。

(2)ζ(s)のディリクレ級数表示はオイラ-積表示に一致する。

(3)Re(s)>1でζ(s)のオイラ-積表示は収束する。

(4)ζ(s)は、s>0(s≠1)に拡張することができる。

[Ⅱ] 命題2 ζ(s)-1/(s-1)はRe(s)>0で正則である。

(1)∫[1,∞]1/xs dx=1/(s‐1) for s>1

(2)s∫[n,x] 1/ts+1 dt=1/ns-1/xs

(3)|ts+1|=tRe(s)+1 

(4)ζ(s)-1/(s-1)≦|s|ζ( Re(s)+1)  for s>1 

[Ⅲ] 命題3 Φ(s)-1/(s-1)はRe(s)≧1で正則である。

(1)ζ’(s)/ζ(s) +1/(s-1) はRe(s)≧1で正則である。

(2)Φ(s)‐1/(s‐1)=‐[ζ′(s)/ζ(s)+1/(s‐1)]-Σ[p] log(p)/ps(ps‐1)  を示す。

(3)右辺2項目Σ[p] log(p)/ps(ps‐1)はRe(s)>1/2で正則である。

(4)Re(s)=1でζ(s)=0なる零点が存在しない。

[Ⅳ] 命題4 θ(x)=O(x) i.e. ∃k>0 |θ(x)|≦kx

(1)2nlog2≧θ(2n)-θ(n)

(2)2m+1・log2>θ(2m)

  (3) θ(x) ≦4log2・x

[Ⅴ] 命題5 ∫[1,∞] [θ(x)-x]/x2 dxは収束する。

・[Ⅲ] 、[Ⅳ]、[定理A]を用いて証明する。

(1)Φ(s)=s∫[1,∞] θ(x)/xs+1 dx、Re(s)>1

(2)f(t)=θ(et)e-t-1 (t≧0)は有界、g(z)=∫[0,∞] f(t)exp[-zt] dtが存在する

(3)g(z)=Φ(z+1)/(z+1)-1/z  Re(z)>0

(4)g(z)はRe(z)≧0で正則

(5)g(0)=∫[0,∞] f(t) dt=∫[1,∞] [θ(x)-x]/x2 dx が収束する。

[Ⅵ] 命題6 θ(x)~x i.e. lim[x→∞] θ(x)/x=1

・任意のε>0、∃x>0 1-ε<θ(x)/x<1+εを示す。

・背理法を用いて矛盾を示す。任意の正数xに対して、∃ε>0

(1)1+ε≦θ(x)/x は矛盾を生じるので、θ(x)/x<1+ε by [Ⅴ]

(2)θ(x)/x≦1-ε は矛盾を生じるので、1-ε<θ(x)/x  by [Ⅴ]

[Ⅶ] 素数定理 Lim [x→∞] π(x) logx/x=1

(1)1←θ(x)/x≦π(x)log(x)/x by [Ⅵ]

(2)π(x)log(x)/x≦1/(1-ε)・θ(x)/x+log(x)/xε→1/(1-ε) →1

[定理A] Newmanの解析定理

t≧0で有界かつ可積分な関数f(t)に対して、

g(z)=∫[0,∞] f(t)exp[-zt] dt Re(z)>0

がRe(z)≧0で正則であれば、

 g(0)=∫[0,∞] f(t) dt

が存在する。つまり正則関数

 gT(z)=∫[0,T] f(t)exp[-zt] dt

に対して、

 lim[T→∞]gT(0)=g(0)

が存在する。

[定理A] Newmanの解析定理の証明手順

(1)g(0)-gT(0)=1/2πi・∫C [g(z)-gT(z)]ezT(1+z2/R2)/z dz

(2)A=|g(0)-gT(0)|=|1/2πi・∫C [g(z)-gT(z)]ezT(1+z2/R2)/z dz|

   ≦A++A≦A++A-1+A-2 → 2B/R(T→∞)→ 0 (R→∞)

(3)A+≦B/R、Re(z)>0 

(4)A-1=|1/2πi・∫CgT(z)ezT(1+z2/R2)/z dz|≦B/R 

(5)A-2=|1/2πi・∫Cg(z)ezT(1+z2/R2)/z dz|→ 0

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