日: 2020年10月25日

ガロア理論5

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これまで多項式f(x) ＝x2－2とf(x)＝x4－4x2+16を例にとり、解を有理数体Qに加えて体を拡大し、拡大した体の上のQ同型写像と拡大体上の群を導く方法を説明しました。今回、ガロアの基本定理について述べ、Q多項式f(x)＝x3－2を例にとり、f(x)の分解体Q(3√2,ω)とガロア群S3を求め、その中間体Q(ω)と部分群A3がガロア対応していることを説明します。分かりやすい例を用いて、ガロアの基本定理を理解しましょう。

＜ガロアの基本定理＞

ガロアの基本定理とは、G＝Gal(L/Q)の部分群Hの個数とガロア拡大体L⊃K⊃Qなる中間体Kの個数は一致し、両者の間に全単射

  • Φ：｛H｜{e}⊂H⊂G、Hは群｝　⇔　｛K｜L⊃K⊃Q、Kは体｝

が存在する。また＃(G)＝[L：Q]が成り立つ、というものです。例えば

  • {e}⊂H3⊂H2⊂H1⊂G　　⇔　L⊃K3⊃K2⊃K1⊃Q

のように群Hiが体Kiに対応します。具体的には、Φ(Hi)＝Kiなる対応

  • Φ(H)＝｛x｜x∊L、∀σ∊H、σ(x)＝x｝＝（群Hで動かない体Lの元の集合）＝LH
  • Φ-1(K)＝｛σ｜σ∊G、∀x∊K、σ(x)＝x｝＝Kの元を動かさない群Gの元の集合＝GK

を考えます。このような対応をガロア対応と言います。また

  • HがGの正規部分群　⇔　KはQのガロア拡大体
  • Gal(K/Q)＝G/H（剰余群）

が成り立っています。Qの拡大体K上のガロア群Gal(K/Q)は、Gの正規部分群HによるGの剰余群G/Hになっています。

  • Gal(K1/Q)＝G/H1、Gal(K2/K1)＝H1/ H2、Gal(K3/K2)＝H2/ H3

が成り立っています。

  • Φ({e})＝｛x｜x∊L、e (x)＝x｝＝L
  • Φ(G)＝｛x｜x∊L、∀σ∊G、σ(x)＝x｝＝Q

が成り立ちます。正規部分群が単位群まで縮小したときに、最大の拡大体Lとなります。また最大群Gは拡大前の有理数体Qです。

Ex.2　　Q多項式f(x)＝x3－2を例に、f(x)の分解体とガロア群を求めてみましょう。

f(x)を因数分解すると

  • f(x)＝x3－2＝(x－3√2)( x－3√2ω)( x－3√2ω2)、ω2＋ω＋1＝0、ω3＝1

となります。3つの解を、α1＝3√2、α2＝3√2ω、α3＝3√2ω2、とします。

f(x)の分解体はQ(3√2,ω)となります。a1、a2、・・・a6 ∊Q（有理数）を用いて

  • Q(3√2,ω)＝｛a1＋a23√2＋a33√4＋a4ω＋a53√2ω＋a63√4ω｜ai∊Q｝

と書けます。というのは、

  • (3√2)2＝3√4、(3√2)3＝2、ω2＝－ω－1

なので、独立な基底は｛1. 3√2, 3√4, ω, 3√2ω, 3√4ω｝の6個になるからです。つまり

  • [Q(3√2,ω)：Q]＝6

体の拡大次数は6となります。

  • ω＝3√2ω/3√2＝­α2/α1＝­α12α2/2、3√2ω＝α2
  • 3√4ω＝3√23√2ω＝α1α2、3√4＝α12

ですから、

  • Q(3√2,ω)＝｛a1＋a2α1＋a3α12＋a4α12α2/2＋a5α2＋a6α1α2｜ai∊Q｝＝Q(α1,α2)

と書くこともできます。Q(3√2,ω)上のQを不変にする自己同型写像σを考えます。

  • 2＝σ(2)＝σ((3√2)3)＝σ(3√2)3　→　σ(3√2)＝3√2、3√2ω、3√2ω2
  • 0＝σ(0)＝σ(ω2＋ω＋1)＝σ(ω)2＋σ(ω)＋1　→　σ(ω)＝ω、ω2

ですから、自己同型写像σは

  • σ0：(3√2,ω)→(3√2,ω)
  • σ1：(3√2,ω)→(3√2ω,ω)
  • σ2：(3√2,ω)→(3√2ω2,ω)
  • σ3：(3√2,ω)→(3√2,ω2)
  • σ4：(3√2,ω)→(3√2ω,ω2)
  • σ5：(3√2,ω)→(3√2ω2,ω2)

の6つとなります。σ0は恒等写像です。これらの写像を(α1、α2、α3)に作用させると

  • σ1(α1)＝σ1(3√2)＝3√2ω＝α2
  • σ1(α2)＝σ1(3√2ω)＝σ1(3√2)σ1 (ω)＝3√2ω・ω＝α3
  • σ1(α3)＝σ1(3√2ω2)＝σ1(3√2)σ1 (ω2)＝3√2ω・ω2＝3√2＝α1

よって、

  • σ1(α1、α2、α3)＝(α2、α3、α1)＝(1→2→3→1)＝(123)

なる解の置換を引き起こします。同様にして、

  • σ2(α1)＝σ2(3√2)＝3√2ω2＝α3
  • σ2(α2)＝σ2(3√2ω)＝σ2(3√2)σ2 (ω)＝3√2ω2・ω＝α1
  • σ2(α3)＝σ2(3√2ω2)＝σ2(3√2)σ2 (ω2)＝3√2ω2・ω2＝3√2ω＝α2

よって、

  • σ2(α1、α2、α3)＝(α3、α1、α2)＝(3→2→1→3)＝(321)

なる解の置換を引き起こします。同様にして、

  • σ3(α1)＝σ3(3√2)＝3√2＝α1
  • σ3(α2)＝σ3(3√2ω)＝σ3(3√2)σ3(ω)＝3√2・ω2＝α3
  • σ3(α3)＝σ3(3√2ω2)＝σ3(3√2)σ3(ω2)＝3√2・ω4＝3√2ω＝α2

よって、

  • σ2(α1、α2、α3)＝(α1、α3、α2)＝(2⇔3)＝(23)
  • なる解α2とα3の互換を引き起こします。同様にして、σ4：(3√2,ω)→(3√2ω,ω2)
  • σ4(α1)＝σ4(3√2)＝3√2ω＝α2
  • σ4(α2)＝σ4(3√2ω)＝σ4(3√2)σ4(ω)＝3√2ω・ω2＝α1
  • σ4(α3)＝σ4(3√2ω2)＝σ4(3√2)σ4(ω2)＝3√2ω・ω4＝3√2ω2＝α3

よって、

  • σ4(α1、α2、α3)＝(α2、α1、α3)＝(1⇔2)＝(12)

なる解α1とα2の互換を引き起こします。同様にして、σ5：(3√2,ω)→(3√2ω2,ω2)

  • σ5(α1)＝σ5(3√2)＝3√2ω2＝α3
  • σ5(α2)＝σ5(3√2ω)＝σ5(3√2)σ5(ω)＝3√2ω2・ω2＝3√2ω＝α2
  • σ5(α3)＝σ5(3√2ω2)＝σ5(3√2)σ5(ω2)＝3√2ω2・ω4＝3√2＝α1

よって、

  • σ5(α1、α2、α3)＝(α3、α2、α1)＝(1⇔3)＝(13)

なる解α1とα3の互換を引き起こします。以上をまとめると

  • G＝｛e、σ1、σ2、σ3、σ4、σ5｝＝｛e、(123)、(321)、(23)、(12)、(13)｝＝S3

Q(3√2,ω)上のQを不変にする自己同型写像は合成写像を演算として3次の対称群S3をなすことが分かります。群Gの位数は6です。これは拡大体Q(3√2,ω)が6次元であることに対応しています。Gの部分群は、自明な{e}とS3を除くと、A3、B2、C2、D2の4つです。

  • A3＝｛e、σ1、σ2｝＝｛e、(123)、(321)｝　⇔　A3 はQ (ω)を不変にする群
  • B2＝｛e、σ3｝＝｛e、(23) ｝　⇔　B2はQ(α1) を不変にする群
  • C2＝｛e、σ4｝＝｛e、(12) ｝　⇔　C2はQ(α3) を不変にする群
  • D2＝｛e、σ5｝＝｛e、(13) ｝　⇔　D2はQ(α2) を不変にする群

となります。A3は正規部分群ですが、B2は正規部分群ではありません。ガロア対応は

  • Φ(S3)＝Q、Φ(A3)＝Q(ω)、Φ({e})＝Q(3√2,ω)

となっています。

σ4＝(12)はα1とα2の互換を引き起こすので、Q(α3)を不変にします。実際

  • Q(3√2,ω)＝｛a1＋a2α1＋a3α12＋a4α12α2/2＋a5α2＋a6α1α2｜ai∊Q｝＝Q(α1,α2)
  • σ4(a1＋a2α1＋a3α12＋a4α12α2/2＋a5α2＋a6α1α2)

＝a1＋a2α2＋a3α22＋a4α22α1/2＋a5α1＋a6α2α1

a2＝a5、a3＝a4＝0であればσ4の作用で不変になります。

σ4(x)＝xの場合、x=a1＋a2(α1＋α2)＋a6α1α2

となります。解と係数の関係

  • α1＋α2＋α3＝3√2(1+ω+ω2)＝0　→　α1＋α2＝－α3
  • α1α2α3＝3√2・3√2ω・3√2ω2)­＝2　→　α1α2＝2/α3

を代入すると、xはα3だけに依存することを示すことができます

  • x＝a1＋a2(α1＋α2)＋a6α1α2＝a1－a2α3＋2a6/α3　∊ Q(α3)

つまり、｛e,σ4｝＝｛e,(12)｝はQ(α3)を不変にします。σ4＝(12)はα1とα2の互換を引き起こすので、Q(α3)を不変にするのは明らかです。

次にA3 はQ (ω)を不変にすることを示します。

σ1＝(123)、σ1：(3√2,ω)→(3√2ω,ω) 、ω2＝－(1+ω)

に注意すると

σ1(a1＋a23√2＋a33√4＋a4ω＋a53√2ω＋a63√4ω)

＝a1＋a23√2ω＋a33√4ω2＋a4ω＋a53√2ω2＋a63√4ω2ω

＝a1＋a4ω＋a2・3√2ω＋a6・3√4－a3・3√4(1+ω)－a5・3√2(1+ω)

＝a1＋a4ω－a53√2＋(a6－a3)-3√4＋(a2－a5)-3√2ω－a3・3√4ω

もとの元と係数を比較すると

  • a2＝－a5、a5＝a2－a5　→　a2＝a5＝0
  • a3＝a6－a3、a6＝－a3　→　a3＝a6＝0

よって

  • σ1(a1＋a4ω)＝a1＋a4ω ∊ Q(ω)

が示されました。同様に、σ2：(3√2,ω)→(3√2ω2,ω)、ω2＝－(1+ω)に注意すると

σ2(a1＋a23√2＋a33√4＋a4ω＋a53√2ω＋a63√4ω)

＝a1＋a23√2ω2＋a33√4ω4＋a4ω＋a53√2ω2ω＋a63√4ω4ω

＝a1＋a23√2ω2＋a33√4ω＋a4ω＋a53√2＋a63√4ω2

＝a1－a23√2(1+ω)＋a33√4ω＋a4ω＋a53√2－a63√4(1+ω)

＝a1 ＋(a5－a2)-3√2－a6・3√4＋a4ω－a2・3√2ω＋(a3－a6)-3√4ω

σ2 (　)内と係数を比較すると

・a2＝a5－a2、a5＝－a2　→　a2＝a5＝0

・a3＝－a6、a6＝a3－a6　→　a3＝a6＝0

よって

  • σ2(a1＋a4ω)＝a1＋a4ω ∊ Q(ω)

が示されました。つまり、

A3＝｛e、σ1、σ2｝はQ(ω)を不変にする群である

ことが分かりました。以上をまとめます。

  • S3＝{e,σ1,σ2,σ3,σ4,σ5}　⊃ A3＝{e,σ1,σ2} ⊃ {e}：ガロア群の縮小列
  • Q　⊂　Q(ω)　⊂　Q(3√2,ω) ；体のガロア拡大
  • Φ(S3)＝Q、Φ(A3)＝Q(ω)、Φ({e})＝Q(3√2,ω)：ガロア対応
  • [Q(ω)：Q]＝2、[Q(3√2,ω)：Q(ω)]＝3、体の拡大次元
  • [Q(3√2,ω)：Q]＝[Q(3√2,ω)：Q(ω)]・[Q(ω)：Q]＝3・2＝6
  • S3/ A3＝{I A3,J A3} 、A3/ {e}＝{e E,σ1E,σ2E }：2つの剰余群
  • ＃(S3)＝＃(S3/ A3)・＃(A3/{e})＝3・2＝6　：剰余群の位数の積は対称群の位数に等しい