＜ζ’(0)の計算＞
ここでは
ζ’(0)＝－1/2・log(2π)
を示します。
複素数sに対して、イ－タ関数
η(s)＝1－1/2s＋1/3s－1/4s＋・・・
はRe(s)＞0で収束し、この範囲で正則です。
イ－タ関数は
｜η(s)｜＝｜1－1/2s＋1/3s－1/4s＋・・｜≦1＋1/2s＋1/3s＋1/4s＋・・＝ζ(s)
よりRe(s)＞1で収束することは明らかです。
イ－タ関数とゼ－タ関数には
η(s)＝(1－21－s)ζ(s)
なる関係がありました。
Lim[s→1] η(s)＝Lim[s→1] (1－21－s)/(s－1)・(s－1)ζ(s)
＝Lim[t→0] (20－2－t)/t・Lim[s→1] (s－1)ζ(s)
＝－Lim[t→0] (20－2－t)/(0－t)・1
＝Lim[t→0] (－2－t)’
＝log2
ここで
(－2－t)’＝ (－e－tlog2)’ ＝ log2 (e－tlog2)＝log2・2－t
を用いました。つまりs＝1はη(s)の除去可能な特異点であり、η(s)はs＝1で正則です。
ここでイ－タ関数の部分和
ηN(s)＝Σn＝1～N (－1)n－1/ns
を考えると
η2＜η4＜η6＜・・＜η2N＜η2N＋2＜η2N＋1＜η2N－1＜・・＜η5＜η3＜η1
なので、Re(s)＞0ならば
Lim[N→∞] (η2N－η2N－1)＝－Lim[N→∞]1/(2N)S＝0
だから
Lim[N→∞] η2N＝Lim[N→∞]η2N－1＝η(s)
となります。イ－タ関数η(s)はRe(s)＞0で収束し、この範囲で正則です。
先ほどの関係式
η(s)＝(1－21－s)ζ(s)
の両辺を微分すると
η’(s)＝log2・21－sζ(s)＋(1－21－s)ζ’(s)
となります。s＝0を代入すると
η’(0)＝log2・21－0ζ(0)＋(1－21－0)
＝log2・2・(－1/2)－ζ’(0)
＝－log2－ζ’(0)
が得られます。η’(0)を求めるために、η(s)を変形すると
η(s)＝1－1/2s＋1/3s－1/4s＋・・・
＝1/2[1+1－1/2s－1/2s＋1/3s＋1/3s－1/4s－1/4s＋・・・]
＝1/2+1/2 [(1－1/2s)－(1/2s－1/3s)＋(1/3s－1/4s)－(1/4s－1/5s)＋・・・]
η(s)は全複素平面で正則なため、両辺を微分すると
η’(s)＝1/2 [(0＋log2/2s)－(－log2/2s＋log 3/3s)＋(－log 3/3s＋log4/4s)－(－log4/4s＋log5/5s)＋・・・]
となります。この右辺はRe(s)＞0の範囲で広義一様収束していることから、ｓ→＋0の極限をとると、
η’(0)＝1/2 [log2－(－log2＋log 3)＋(－log 3＋log4)－(－log4＋log5)＋・・・]
＝1/2・log(2/1・2/3・4/3・4/5・・・)
＝1/2・log(π/2)
となります。ここでウォリスの公式を用いました。従って
ζ’(0)＝－η’(0) －log2
＝－1/2・log(π/2) －1/2・log4
＝－1/2・log(2π)
が得られます。
η(0)＝(1－21－0)ζ(0)＝－1(－1/2)＝1/2
ですから、まとめると
ζ(0)＝－1/2、ζ’(0)＝－1/2・log(2π)
η(0)＝＋1/2、η’(0)＝＋1/2・log(π/2)
が成り立ちます。