＜ゼ－タ関数の関数等式とテータ関数の関係＞

ゼ－タ関数の関数等式は

　ξ(x)＝π^－s/2Γ(s/2)ζ(s)

とおくと

　ξ(x)＝ξ(1－x)

で表されます。テータ関数

　θ(t)＝Σ_{n＝[－∞、∞]} e^{－πtn^2}

の変換公式は

　θ(t)＝θ(1/t)/√t

でした。

　Ψ(t)＝Σ_{n＝[1、∞]} e^{－πtn^2}

とおくと、

　θ(t)＝1＋2Ψ(t)

が成り立ちます。Γ関数の定義において、

　Γ(s)＝∫_[0、∞] x^s－1e^－xdx　(s＞0)

x＝πtn²と変数変換すると、dx＝πn²dtとなり

　Γ(s)＝∫_[0、∞] (πtn²)^s－1e^{－πtn^2}πn² dt

　　　＝π^sn^2s∫_[0、∞] t^s－1e^{－πtn^2} dt

なので

　Γ(s/2)＝π^s/2n^s∫_[0、∞] t^s/2－1e^{－πtn^2}dt

両辺をπ^s/2n^sで割って

　π^－s/2・1/n^s Γ(s/2)＝∫_[0、∞] t^s/2－1e^{－πtn^2} dt

これを全ての自然数nについて加えれば

　π^－s/2・Γ(s/2) [Σ_{n＝[1、∞]} 1/n^s]＝∫_[0、∞] t^s/2－1[Σ_{n＝[1、∞]} e^{－πtn^2}]dt

　π^－s/2・Γ(s/2)ζ(s) ＝∫_[0、∞] t^s/2－1Ψ(t) dt

を得ます。　

　右辺＝∫_[0、1] t^s/2－1Ψ(t) dt＋∫_[1、∞] t^s/2－1Ψ(t) dt

として、第一項で、t＝1/uと変数変換すると、dt＝－1/u² duより

　∫_[0、1] t^s/2－1Ψ(t) dt＝－∫_[∞、1] (1/u)^s/2－1Ψ(1/u) 1/u² du

 　　　　　　　　　　＝∫_[1、∞] u^－s/2－1Ψ(1/u) du

ここで

　　1＋2Ψ(u)＝θ(u)＝θ(1/u)/u^1/2＝[1＋2Ψ(1/u)]/u^1/2

となることから、

　Ψ(1/u)＝u^1/2Ψ(u)＋1/2・u^1/2－1/2

を得ます。これを代入すると

　∫_[0、1] t^s/2－1Ψ(t) dt

　＝∫_[1、∞] u^－s/2－1[u^1/2Ψ(u)＋1/2・u^1/2－1/2]du

　＝∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1}Ψ(u) du ＋1/2∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1} du－1/2∫_[1、∞] u^－s/2－1du

　＝∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1}Ψ(u) du ＋1/(s－1)－1/s

　＝∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1}Ψ(u) du －1／s(1－s)

となります。なぜなら、s>0より

　1/2∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1}du＝1/2・2/(1－s) [u^(1－s)/2]_u＝1、∞＝1/(s－1)　

　－1/2∫_[1、∞] u^－s/2－1du＝－1/2・(－2/s)[u^－s/2]_u＝1、∞＝－1/s

よって

　右辺＝∫_[0、1] t^s/2－1Ψ(t) dt＋∫_[1、∞] t^s/2－1Ψ(t) dt

　　　＝∫_[1、∞] u^{(1－s)/2－1}Ψ(u) du －1／s(1－s)＋∫_[1、∞] t^s/2－1Ψ(t) dt

　　　＝∫_[1、∞] [u^{(1－s)/2－1}＋u^s/2－1]Ψ(u) du －1／s(1－s)

となります。右辺は全ての実数sに対して積分が存在し、sを1－sに置き換えても、式が変わりません。

　左辺：ξ(s)＝π^－s/2・Γ(s/2)ζ(s)

とすると、

　ξ(s)＋1／s(1－s)＝∫_[1、∞] [t^{(1－s)/2－1}＋t^s/2－1]Ψ(t) dt

は全ての実数sで定義され、関数等式

　ξ(s)＝ξ(1－s)

が成り立ちます。