[Ⅵ] θ(x)～x の証明
θ(x)～x の定義は、lim[x→∞] θ(x)/x＝1 です。これは、任意のε＞0、∃x＞0に対して、
1－ε＜θ(x)/x＜1＋εと同値です。あるいは
- 任意のλ＞1に対してθ(x)＜λx かつ
- 任意のλ＜1に対してλx＜θ(x)
と同値です。この命題を否定して、
- λ＞1に対してθ(x)≧λx かつ
- λ＜1に対してλx≧θ(x)
なるλが存在するとして、矛盾を導きます。
（1）λ＞1に対してθ(x)≧λx なるλが存在するとして、矛盾を導きます。
λ＞1のとき、x≦t≦λxなるtに対して、θ(t)≧θ(x)であり
- θ(t)≧θ(x)≧λx → (θ(t)－t)／t2 ≧(λx－t)／t2
であるから、
- ∫[x,λx] [(θ(t)－t)／t2] dt ≧∫[x,λx] [(λx－t)／t2] dt＝∫[1,λ] [(λ－s)／s2] ds＝δ(λ)＞0
が成り立ちます。ここでt=xsとおいて、積分変数をtからsに変換しました。
(Ⅴ)より積分
- F(x)＝∫[1,x] [(θ(t)－t)／t2] dt → F（∞）as x→∞
は収束するので、x→∞で
- 0＜δ(λ)≦∫[x,λx] [(θ(t)－t)／t2] dt＝F(λx)－F(x) → 0 as x→∞
となり、矛盾することが示せました。
（2）λ＜1に対してλx≧θ(x)なるλが存在するとして、矛盾を導きます。
λ＜1のとき、λx≦t≦xなるtに対して、θ(t)≦θ(x)であり、
- θ(t)≦θ(x)≦λx → (θ(t)－t)／t2 ≦(λx－t)／t2
であるから、
- ∫[λx, x] [(θ(t)－t)／t2] dt ≦∫[λx, x] [(λx－t)／t2] dt＝∫[λ,1] [(λ－s)／s2] ds＝δ(λ)＜0
が成り立ちます。ここでt=xsとおいて、積分変数をtからsに変換しました。
(Ⅴ)より積分
- F(x)＝∫[1,x] [(θ(t)－t)／t2] dt → F（∞）as x→∞
は収束するので、x→∞で
- 0＞δ(λ)≧∫[λx, x] [(θ(t)－t)／t2] dt＝F(x)－F(λx) → 0 as x→∞
となり、矛盾します。よって背理法より、lim[x→∞] θ(x)/x＝1 が示されました。