実数x以下の素数の個数π(x)は

• π(x)＝Σ_[p≦x] 1

と表せます。π(x)は「素数ｐ（＝2、3，・・・Ｐ≦x）がx以下の最大の素数Pになるまで1を加え続ければ得られます。π(x)は素数を段差とする階段関数になっています。素数定理は

• π(x)～x／logx

すなわち

• Lim _[x→∞] π(x) logx／x＝1

が成り立つというものです。

まずチェビシェフのシータ関数

• θ(x)＝Σ_[p≦x] log(p)

を考えます。この関数には

• θ(x)≦π(x) logx

なる性質があります。実際

• θ(x)＝Σ_[p≦x] log(p)≦{Σ_[p≦x]1} log(x)＝π(x) logx

によって確かめられます。

• π(x) logx／x ≧ θ(x)／x　→1　as　x→∞

ですから、素数定理を示すのに、

• Lim _[x→∞] θ(x)／x＝1

すなわち

• θ(x)～x

が成り立つことを示す必要があります。これは任意のλに対して

• ∀ λ＞1 θ(x)≦λx　かつ　∀ λ＜1　θ(x)≦λx

が成り立つことと同値です。この命題を否定して、

• θ(x)≧λx　for　λ＞1　あるいは　θ(x)≦λx　for　λ＜1

なるλが存在するとして、矛盾を導きます。　x≦t≦λxなるtに対して

• θ(t)≧θ(x)≧λx　→　(θ(t)－t)／t²≧(λx－t)／t²

であるから、

• ∫_[x,λx] [(θ(t)－t)／t²] dt ≧∫_[x,λx] [(λx－t)／t²] dt＝∫_[1,λ] [(λ－s)／s²] ds＝δ(λ)＞0

が成り立ちます。ここでt=sxとおいて、積分変数をtからsに変換しました。積分

• F(x)＝∫_[1,x] [(θ(t)－t)／t²] dt　→　F（∞）as　x→∞

が収束すれば、左辺の極限値がゼロ

• 左辺＝F(λx)－F(x)　→　0　as　x→∞

になり、左辺≧δ(λ)＞0に矛盾することが示せます。

先ほどの積分は、x＝exp(t) と置いて、xからtに変数変換すると、dx＝xdt

• F(∞)＝∫_[1,∞] [(θ(x)－x)／x²] dx＝∫_[0,∞] (θ(e^t) e‐^t－1) dt＝∫_[0,∞] f(t) dt
• f(t)＝θ(e^t) e‐^t－1

と書けます。ここで、f(t)のラプラス変換

• g(z)＝∫_[0,∞] f(t) e^－zt dt

を考えます。Newman教授は、f(t)が有界で、複素関数g(z)がRe(z)≧0で正則ならば、

• g(0)＝∫_[0,∞] f(t) dt

が存在するという解析定理を発見しました。

注意すべきことは、一般に

• Lim_[z→0] ∫_[0,∞] f(t) e^－zt dt = ∫_[0,∞] f(t) dt

が成立しないことです。例えばf(t)＝sin(t)のとき

• g(z)＝∫_[0,∞] sin(t) e^－zt dt＝1/(z²＋1) → 1　as　z→0

となります。しかしg(0)＝∫_[0,∞] sin(t) dtは存在しません。計算を示します。

• g(z)＝∫_[0,∞] 1/2i・(e^it‐e^－it) e^－zt dt=1/2i・[e^it－zt/(i－z)+e^－it－zt/(i＋z)]t=0,∞

＝－1/2i・[1/(i－z)＋1/(i＋z)]＝1/(z²＋1)

実際シ－タ関数は、ある正数Kに対して

• θ(x)≦Kx　e.　 θ(x)＝O(x)：オーダ－ｘ

なる性質があるので、

• ｜f(t)｜＝｜θ(e^t) e‐^t－1｜≦θ(e^t)／e^t＋1≦K＋1

となり、f(t)が有界になります。

複素関数g(z)は、x=exp(t)と変数変換すると、dx=xdt、e^－zt＝1/x^z

• g(z)＝∫_[0,∞] (θ(e^t) e‐^t－1) e^－zt dt＝∫_[1,∞] (θ(x)／x^z+2) dx‐1/z

となります。θ(x)を代入して計算すると

• g(z－1)＝∫_[1,∞] (Σ[p≦x] log(p)／x^z+1) dx‐1/z＝Φ(z)/z‐1/z

なる関係が得られます。

• z∫_[1,∞] (θ(x)／x^z+1) dx＝z∫_[2,3] log2／x^z+1 dx＋z∫_[3,5] (log2+ log3)／x^z+1 dx＋・・・

＝－[log2/x^z]x=2,3－[(log2+log3)/x^z]x=3,5－[(log2+log3+log5)/x^z]x=5,7＋・・・

＝(－log2/3^z+ log2/2^z)－[－(log2+log3)/5^z－(log2+log3)/3^z)]

－[－(log2+log3+ log5)/7^z－(log2+log3+ log5)/5^z)]＋・・・

　　＝log2/2^z＋log3/3^z)＋log5/5^z＋log7/7^z＋・・・

＝Σ_[p] log(p)／p^z＝Φ(z)

関数Φ(s)は

• Φ(s)＝Σ_[p] log(p)／p^s

ここでΣ_[p]は全ての素数の和を取ります。結局

• g(z)＝Φ(z+1)／(z+1)－1/z＝[{Φ(z+1)－1/z}－1]／(z+1)

Newmanの解析定理を適用するには、g(z)がRe(z)≧0で正則でなければなりません。

よって

• Φ(s)－1/(s‐1)がRe(s)≧1で正則である

ことが言えれば良いことが分かります。

ここでリ－マンのゼータ関数ζ(s)

• ζ(s)＝Σ_{[n＝1～∞]} 1／n^s＝1＋1／2^s＋1／3^s＋・・・

を考えます。この関数はRe(s)＞1で収束します。s＝1のときは、ζ(s)は調和級数となり

• Σ_{[n＝1～∞]} 1／n＝1＋1／2＋1／3＋・・・＝log(∞)

対数発散をします。自然数の素因数分解の一意性によって、ゼータ関数ζ(s)は

• ζ(s)＝Π_[p] [1/(1‐1/p^s)]

とも書けます。これをオイラ－積表示といいます。実際

• ζ(s)＝ [1/(1‐1/2^s)]・[1/(1‐1/3^s)]・[1/(1‐1/5^s)]・[1/(1‐1/7^s)]・[1/(1‐1/11^s)]・・・

　　　 ＝[1＋1/2^s＋1/2^2s＋1/2^3s＋1/2^4s＋1/2^5s＋・・・]

・[1＋1/3^s＋1/3^2s＋1/3^3s＋1/3^4s＋1/3^5s＋・・・]

・[1＋1/5^s＋1/5^2s＋1/5^3s＋1/5^4s＋1/5^5s＋・・・]

・[1＋1/7^s＋1/7^2s＋1/7^3s＋175^4s＋1/7^5s＋・・・]・・・

      　＝1＋1／2^s＋1／3^s＋1／2^2s＋1／5^s＋1／2^s3^s＋1／7^s＋1／2^3s＋1／3^2s＋1／2^s 5^s

＋1／11^s＋1／2^2s3^s＋1／13^s＋1／2^s7^s＋1／3^s 5^s＋1／2^4s＋・・・

　　　　＝1＋1／2^s＋1／3^s＋1／4^s＋1／5^s＋1／6^s＋1／7^s＋1／8^s＋1／9^s＋1／10^s

＋1／11^s＋1／12^s＋1／13^s＋1／14^s＋1／15^s＋1／16^s＋・・・

となり、成立しています。ζ(s)のオイラ－積表示の対数を取ると、

• log[ζ(s)]＝‐Σ_[p] log(1‐1/p^s)

となります。これを微分した導関数は

• (1/p^s)′＝exp(‐slog(p))′＝‐log(p)／p^s

となります。よって

• ζ′(s)／ζ(s)＝‐Σ_[p] (1‐1/p^s)′／(1‐1/p^s)＝‐Σ_[p] log(p)/p^s／(1‐1/p^s)

より

• ζ′(s)／ζ(s)＝‐Σ_[p] log(p)／(p^s‐1)

となります。ここで

• 1/(p^s‐1)＝1/p^s＋1/ p^s(p^s‐1)

を用いると、

• ζ′(s)／ζ(s)＝‐Σ_[p] log(p)／p^s－Σ_[p] log(p)／p^s(p^s‐1)

つまり、ゼータ関数ζ(s)とファイ関数Φ(s)の関係式

• ζ′(s)／ζ(s)＝‐Φ(s)－Σ_[p] log(p)／p^s(p^s‐1)　

が得られます。変形すると

• Φ(s)‐1/(s‐1)＝‐[ζ′(s)／ζ(s)‐1/(1－s)]－Σ_[p] log(p)／p^s(p^s‐1) 　　・・・（＃）

なる表式が得られます。実は右辺2項目はRe(s)＞1/2で正則です。

Φ(s)－1/(s‐1)がRe(s)≧1で正則であることを示すためには、

• ζ′(s)／ζ(s)‐1/(1－s)がRe(s)≧1で正則である

ことを示す必要があります。そのためには

• ζ(s)がRe(s)＝1で零点を持たない。
• ζ(s)‐1/(s‐1)はRe(s)＞0で正則である。

ことを示す必要があります。なぜならそれが成り立てば、ζ(s)はRe(s)＞0でs＝1に極を持つ有理型関数なので、

• Lim_[s→1] (1－s) ζ′(s)／ζ(s)＝1　 for　Re(s)＞1

となるからです。いま

• 1/(s‐1)＝Σ_[n=1～∞] ∫_[n,n+1]1/x^sdx

と書けるので

• ζ(s)‐1/(s‐1)＝Σ_[n=1～∞][1/n^s‐∫_[n,n+1]1/x^sdx]＝Σ_[n=1～∞]∫_[n,n+1][1/n^s‐1/x^s]dx
• ｜∫_[n,n+1][1/n^s‐1/x^s]dx｜≦｜s｜/n^Re(s)+1
• ｜ζ(s)‐1/(s‐1)｜≦Σ_[n=1～∞]｜s｜/n^Re(s)+1＝｜s｜ζ(Re(s)+1)

となります。ζ(Re(s)+1)はRe(s)+1＞1で正則なので、ζ(s)‐1/(s‐1)はRe(s)＞0で正則関数に拡張できます。つまり素数定理の核心はζ(s)がRe(s)＝1で零点を持たないことの証明になります。

 

ゼータ関数ζ(s)のオイラ－積表示

• ζ(s)＝Π_[p] [1/(1‐1/p^s)]

は興味深い関係式です。もしゼータ関数の零点ρが分かれば、

• ζ(s)＝f(s)・Π_[ρ] [s－ρ]

と因数分解できることになります。対数表示をとると

log f(s)＋Σ_[ρ]log (s‐ρ)＝－Σ_[p] log (1‐1/p^s)

が得られます。これはゼータ関数の零点ρに関する和が、全ての素数pに関する和と関係があることを示唆しています。ゼータ関数の零点には、素数の情報が含まれていると考えられます。ゼータ関数はs=－2k＝－2、－4、－6、・・・に自明な零点を持つことが知られています。ζ(0)＝－1/2で、s=0は零点ではありません。

• ゼータ関数の非自明な零点は、Re(1/2)上に存在している

というのが、有名なリーマン予想です。10兆個の零点を調べたところ、全てRe(1/2)上に存在しているようです。しかしその事実を持って、リーマン予想が正しいと結論することはできません。フラクタル曲線で有名なコッホは1901年に、リーマン予想が正しければ、素数の計数関数は

• π(x)～Li(x)＋O(√ｘ・log(x))

と書けると主張しています。リーマン予想は素数分布の予測の精緻化にも役立ちます。

リーマン予想は数論の様々な問題と関連しており、今でも高い関心が注がれています。