＜Poissonの和公式＞

[－∞、∞]区間上の任意の連続関数f(x)とそれをフーリエ変換した関数

　F(n)＝∫_{[－∞、∞]} f(t)e^－i2πnt dt

に対して、

　Σ_{n＝－∞～∞} f(n)＝Σ_{n＝－∞～∞} F(n)

が成り立つ。

[証明]　 連続関数f(t)に対して

　g(t)＝Σ_{n＝－∞～∞}f(n+t)

を定義する。

　g(0)＝Σ_{n＝－∞～∞}f(n)

であり、g(t)は

　g(t+1)＝g(t)

なる周期性を持つので、フ－リエ級数展開

　g(t)＝Σ_{n＝－∞～∞}c_n e^i2πnt

ができる。t=0のとき

　g(0)＝Σ_{n＝－∞～∞}c_n

が成り立つ。一方、

　F(m)＝Σ_{n＝－∞～∞}∫_[n、n+1] f(t)e^－i2πmt dt

　　　＝Σ_{n＝－∞～∞}∫_[0、1] f(t+n)e^{－i2πm(t+n)} dt

　　　＝∫_[0、1] [Σ_{n＝－∞～∞}f(t+n)] e^－i2πmt dt

　　　＝∫_[0、1] g(t) e^－i2πmt dt

　　　＝∫_[0、1] [Σ_{n＝－∞～∞}c_n e^i2πnt] e^－i2πmt dt

　　　＝Σ_{n＝－∞～∞}c_n・[∫_[0、1] e^i2π(n－m)t dt]

　　　＝Σ_{n＝－∞～∞}c_n・δ_nm

　　　＝c_m

従って

　g(0)＝Σ_{n＝－∞～∞}f(n)＝Σ_{n＝－∞～∞} F(m)

が成り立つ。