ディリクレ積分
∫[0,∞] sin(x) /x dx＝π/2
を複素積分
∫C eiz /z dz＝0
で求めます。
閉積分経路Cを
C＝C1＋C2＋C3＋C4
に分けます。ここで
C1：z＝Reiθ 0≦θ≦π
C2：z＝x –R≦x≦－δ
C3：z＝δeiθ 0≦θ≦π
C4：z＝x δ≦x≦R
とします。閉積分経路C内にz=0の極は含まれないので、Cでの積分はコーシ－の定理よりゼロになります。
（1）C1の積分
0≦sinθ≦1 かつ 2θ/π≦sinθ（0≦θ≦π）、
ですから、
｜exp(iReiθ)｜＝｜exp{iR(cosθ+ i sinθ)}｜
＝｜exp{iRcosθ}・exp{－R sinθ)}]｜
＝e－R sinθ
≦e－R2θ/π
従って
｜∫C1 eiz /z dz｜＝｜∫[0，π] exp(iReiθ) /Reiθ ・iReiθdθ｜
≦∫[0，π] e－R2θ/πdθ
＝－π/2R・[e－R2θ/π] θ＝0，π
＝π/2R・(1－e－2R) → 0 as R→∞
C1の積分はRが無限大になるとゼロになります。
（2）C2の積分
ここで x’＝‐xに置き換えると
∫C2 eiz /z dz＝∫[R，δ] e‐ix’ /x’ dx’＝－∫[δ、R] e‐ix’ /x’ dx’
となります。
（3）C3の積分
∫C3 eiz /z dz＝∫[π，0] exp(iδeiθ) /δeiθ ・iδeiθdθ
＝i∫[π，0] {1+(iδeiθ)+O(δ2)｝dθ
→ i∫[π，0] dθ＝－iπ as δ→0
（4）C4の積分
∫C3 eiz /z dz＝∫[δ、R] eix /x dx
となります。以上より
0＝∫C1 eiz /z dz＋∫C2 eiz /z dz＋∫C3 eiz /z dz＋∫C4 eiz /z dz
＝∫CR eiz /z dz－∫[δ、R] e‐ix /x dx＋∫[δ、R] eix /x dx－iπ
＝∫CR eiz /z dz ＋∫[δ、R] (eix－e‐ix) /x dx－iπ
＝∫CR eiz /z dz ＋2i∫[δ、R] sin(x) /x dx－iπ
ここで δ→0かつR→∞ とすると
2i∫[0、∞] sin(x) /x dx－iπ＝0
すなわち
∫[0、∞] sin(x) /x dx＝π/2
が得られます。複素積分を用いると簡単にディリクレ積分の値が求められました。