それでは双極子ベクトルP(t₀)

・　P(t₀)＝∫ρ(r’, t₀)r’d³r’（t₀＝t－r/c）

から距離ｒ離れた位置に観測される散乱波の電場E(r,t)が、

• E(r,t) =(1/4πε_０)（1/ c²ｒ³）・ｒ×[ｒ×∂²P(t₀)/∂t₀²]　

と書けることを証明します。ここでｃは光速です。

電場と磁場は、電磁ポテンシャルφ、Aと

・　Ｅ＝－gradφ－∂A /∂t

・　Ｂ＝rot A

なる関係があります。電磁ポテンシャルφ、Aを用いたマクスウエルの方程式は

・　（△－1/c²∂²/∂t）φ＝－ρ/ε_０

・　（△－1/c²∂²/∂t）A＝－μ_０i

・　　1/c²・∂φ/∂t＋divA＝0　（Lorentz gauge）

・　　1/c²＝ε_０μ_０

で与えられます。電磁ポテンシャルは、電荷密度ρと電流密度iに対して

・　φ(ｒ,ｔ)＝(1/4πε_０)∫ρ(r’,t－∣r－r’∣/c)/ ∣r－r’∣d³r’

・　A (ｒ,ｔ)＝(μ_０/4π)∫i(r’,t－∣r－r’∣/c)/ ∣r－r’∣d³r’

・　　　　　　＝(1/4πε_０)1/c²∫i(r’,t－∣r－r’∣/c)/ ∣r－r’∣d³r’

と表すことができます。必ずしも容易ではありませんが、この定理は上式に代入すると解になっていることで確かめられます。物理学では証明に用いる定理が証明すべき命題より難しいことが時々あります。数学的には1/ｒがφに係るダランベシアン作用素のグリ－ン関数核なので、ソ－ス項と1/ｒの積の積分は電磁場方程式の解になるということです。よく知られた定理なので、ひとまずこれを認めましょう。

物理学では大抵の場合、厳密に積分するのは困難です。ここでは電気双極子近似を導入します。電子が存在している領域半径r’ に比べ、観測地点がずっと遠くにある（r’＜＜r)場合を想定しているので、

・　∣r－r’∣≒r(1－r・r’/r)

・　1/∣r－r’∣≒1/r・(1＋r・r’/r）＝1/r＋O(r’/r)≒1/r

・　r＝∣r∣＝root(x²＋y²＋z²)

のように近似します。なぜなら

　∣r－r’∣＝root(∣r∣²－2r・r’＋∣r’∣²) ≒ r (１－2r・r’/r)^1/2≒r (１－r・r’/r)

だからです。さらにテ－ラ展開の1次までとると

・　ρ(r’,t－∣r－r’∣/c)≒ρ(r’,t－r /c＋r・r’/cr) ≒ρ(r’,t₀＋r・r’/cr)

・　　　　≒ρ(r’,t₀)＋[dρ(r’,t₀) /dt₀]・(r・r’)/cr

となります。上式のρをφの式に代入すると、

・　φ(ｒ,ｔ)＝(1/4πε_０r)∫ρ(r’,t₀) d³r’＋(r/cr²)・（d /dt₀)1/4πε_０∫ρ(r’,t₀)r’d³r’

となります。ここで第一項は

・　Q＝∫ρ(r’,t₀) d³r’

を含みますが、電荷Qは原子に束縛されており、時間的に変化しないので、無視できます。

・　P(t₀)＝∫ρ(r’, t₀)r’d³r’

ですので、スカラ－ポテンシャルは、双極子ベクトルを用いて

・　φ(ｒ,ｔ)＝(1/4πε_０) (r /cr²)・（dP(t₀) /dt₀)

と書けます。同様にベクトルポテンシャルに関して、双極子近似を適用して展開すると

・　(4πε₀) A (ｒ,ｔ)≒ (1/ｃ²ｒ)∫i(r’, t₀＋r・r’/cr ) d³r’

　　　　≒(1/ｃ²ｒ)∫i(r’, t₀) d³r’＋(1/ｃ³ｒ²)∫di(r’, t₀)/dt₀ (r・r’) d³r’

　　　　≒(1/ｃ²ｒ)∫i(r’, t₀) d³r’ ＋O（1/ｃ³)

となり第二項は無視できます。ここで断面積S、長さr’の導線を考えると、電流は

・　i(r’, t₀)＝1/S・dq/dt₀・r’/r’＝d（q/V)/dt₀・r’＝dρ/dt₀・r’

と書けるので、

・　　A (ｒ,ｔ)≒(1/4πε₀) (1/ｃ²ｒ) (d/dt₀)∫ρ(r’,t₀)r’ d³r’

より、ベクトルポテンシャル Aも双極子ベクトルP(t₀)を用いて

・　　A (ｒ,ｔ)＝(1/4πε₀) (1/ｃ²ｒ) (dP(t₀)/dt₀)

と表せます。電場の表式に電磁ポテンシャルを代入すると

・(1/4πε₀)Ｅ(r,t)＝－gradφ－∂A /∂t

　　　　　　　＝－grad[(r /cr²)・（dP(t₀) /dt₀)]－∂/∂t[(1/ｃ²ｒ) (dP(t₀)/dt₀)]

となります。ところで第一項のgradのｘ微分を考えると、

　（d/dx）(r /cr²)＝e_x /cr²－（2r /cr³) dr/dx＝e_x /cr²－2rx/cr⁴＝O(1/r²)＋O(1/r³)

の部分は、次のｘ微分の項

・　－(r /cr²)（d/dx）（dP(t₀) /dt₀)＝－(r /cr²)（d(t－r/c)/dx）（d²P(t₀) /dt₀²)

　　　　　　　　　＝－(r /cr²)（－ｘ/cr）（d²P(t₀) /dt₀²)　～　O(1/r)

に比べると十分遠方で早く小さくなるので、無視できることが分かります。結局

・　(1/4πε₀)Ｅ(r,t)≒(r/cr) [(r /cr²)・（d²P(t₀) /dt₀²)]－(1/ｃ²ｒ）d²P(t₀) /dt₀²

・　　　　＝(1/ｃ²ｒ³)｛r [r・d²P(t₀) /dt₀²] －(r・r) d²P(t₀) /dt₀² ｝

・　　　　Ｅ(r,t)＝(1/4πε₀) (1/ｃ²ｒ³) r×(r×d²P(t₀) /dt₀²)

により公式が得られます。最後の等式は、A=ｒ、B=ｒ、C＝d²P(t₀) /dt₀²とおいて恒等式

　　B（A・C)－（A・B）C＝A×(B×C）

を適用して得ました。すこし難しくなってしまいましたが、双極子放射の公式が電磁気学の基本方程式から得られることを確かめました。次回は古典的な分極率の導出についてお話します。